数学

#12 ふれてみよう高校数学解析（微分・積分・極限）

置換積分・部分積分

置換積分（Substitution）

「面倒な部分を $u$ という新しい変数に置き換えて、シンプルな形に変形する」——これが置換積分のアイデアです。料理のレシピを「だし汁 $u$ 」とまとめて書くのと同じ発想です。

置換積分は連鎖律の逆操作です。

\int f(g(x)) \cdot g'(x)\,dx = \int f(u)\,du \quad \bigl(u = g(x)\bigr)

$u = g(x)$ と置くと $du = g'(x)\,dx$ なので、 $g'(x)\,dx$ を $du$ で置き換えます——「変数の入れ替えで積分がシンプルになる」のがポイントです。

例 1

\int 2x(x^2+1)^3\,dx

$u = x^2+1$ と置くと $du = 2x\,dx$ ——「 $2x\,dx$ がまるごと $du$ になる」：

= \int u^3\,du = \frac{u^4}{4}+C = \frac{(x^2+1)^4}{4}+C

例 2

\int \cos(3x)\,dx

$u = 3x$ と置くと $du = 3\,dx$ 、つまり $dx = \dfrac{du}{3}$ ——「 $3\,dx$ が $du$ になる」：

= \int \cos u \cdot \frac{du}{3} = \frac{\sin u}{3}+C = \frac{\sin 3x}{3}+C

デモ：置換積分の視覚化

$\displaystyle\int_0^x 2t(t^2+1)^3\,dt$ を $u = t^2+1$ で置換した場合の被積分関数の変換を表示します。マウスで $x$ を動かすと積分の上限が変化し、元の関数（青）と $u$ 変換後の関数（緑）の対応が確認できます。

∫2x(x²+1)³ dx の被積分関数（青）と置換後の ∫u³ du（緑）。

function loop() {
ctx.clearRect(0, 0, W, H);
var scale=45;
var ox=W/2, oy=H*0.85;

function toSx(x){return ox+x*scale;}
function toSy(y){return oy-y*scale;}

function drawAxes(){
  ctx.strokeStyle='rgba(255,255,255,0.13)';
  ctx.lineWidth=1;
  ctx.beginPath();ctx.moveTo(0,oy);ctx.lineTo(W,oy);ctx.stroke();
  ctx.beginPath();ctx.moveTo(ox,0);ctx.lineTo(ox,H);ctx.stroke();
  ctx.fillStyle='rgba(255,255,255,0.25)';
  ctx.font='10px monospace';
  ctx.textAlign='center';
  for(var i=-5;i<=5;i++){
    if(i===0)continue;
    ctx.fillText(i,toSx(i),oy+14);
  }
  ctx.textAlign='right';
  for(var j=1;j<=4;j++){
    ctx.fillText(j,ox-6,toSy(j)+4);
  }
}

function plotCurve(fn,color,lw){
  ctx.strokeStyle=color;ctx.lineWidth=lw||2;
  ctx.beginPath();
  var first=true;
  for(var xi=0;xi<=W-ox;xi+=1){
    var x=xi/scale;
    var y=fn(x);
    if(!isFinite(y)||y>H/scale+0.5||y<-0.5){first=true;continue;}
    if(first){ctx.moveTo(toSx(x),toSy(y));first=false;}
    else ctx.lineTo(toSx(x),toSy(y));
  }
  ctx.stroke();
}

var fOrig=function(x){return 2*x*Math.pow(x*x+1,3);};
// After substitution u=x^2+1, f(u) = u^3, but we plot it as a function of x for comparison
// To compare properly: plot u^3 where u=x^2+1
var fSubst=function(x){var u=x*x+1; return u*u*u;};

ctx.fillStyle='#0d1117';
ctx.fillRect(0,0,W,H);
drawAxes();

// Mouse x for upper limit
var xUpper=(mx-ox)/scale;
xUpper=Math.max(0,Math.min(2.2,xUpper));

// Shade area under original function
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(toSx(0),oy);
for(var xi2=0;xi2<=xUpper*scale;xi2+=1){
  var x2=xi2/scale;
  var y2=fOrig(x2);
  if(y2<H/scale && y2>=0) ctx.lineTo(toSx(x2),toSy(y2));
  else break;
}
ctx.lineTo(toSx(xUpper),oy);
ctx.closePath();
ctx.fillStyle='rgba(79,195,247,0.15)';
ctx.fill();

// Shade area under substituted function (same integral value)
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(toSx(0),oy);
for(var xi3=0;xi3<=xUpper*scale;xi3+=1){
  var x3=xi3/scale;
  var y3=fSubst(x3);
  if(y3<H/scale && y3>=0) ctx.lineTo(toSx(x3),toSy(y3));
  else break;
}
ctx.lineTo(toSx(xUpper),oy);
ctx.closePath();
ctx.fillStyle='rgba(129,199,132,0.1)';
ctx.fill();

plotCurve(fOrig,'#4fc3f7',2);
plotCurve(fSubst,'rgba(129,199,132,0.7)',2);

// Upper limit marker
if(xUpper>0){
  ctx.setLineDash([4,4]);
  ctx.strokeStyle='rgba(255,202,40,0.5)';
  ctx.lineWidth=1;
  ctx.beginPath();ctx.moveTo(toSx(xUpper),oy);ctx.lineTo(toSx(xUpper),toSy(fOrig(xUpper)));ctx.stroke();
  ctx.setLineDash([]);
  ctx.beginPath();ctx.arc(toSx(xUpper),toSy(fOrig(xUpper)),5,0,Math.PI*2);
  ctx.fillStyle='#ffca28';ctx.fill();
}

// Antiderivative value at x
var antideriv=Math.pow(xUpper*xUpper+1,4)/4 - Math.pow(0+1,4)/4;

// Info panel
ctx.fillStyle='rgba(0,0,0,0.7)';
ctx.fillRect(8,8,290,100);
ctx.font='12px monospace';ctx.textAlign='left';
ctx.fillStyle='#4fc3f7';
ctx.fillText('f(x) = 2x(x²+1)³',14,28);
ctx.fillStyle='rgba(129,199,132,0.9)';
ctx.fillText('u³  (u=x²+1)',14,46);
ctx.fillStyle='#ffca28';
ctx.fillText('x = '+xUpper.toFixed(3),14,64);
ctx.fillText('∫₀ˣ = '+(antideriv).toFixed(4),14,82);

ctx.fillStyle='rgba(255,255,255,0.5)';
ctx.font='12px sans-serif';ctx.textAlign='center';
ctx.fillText('u = x²+1, du = 2x dx',W/2,H-10);

requestAnimationFrame(loop);
}
loop();

部分積分（Integration by Parts）

「積の微分法則 $(uv)' = u'v + uv'$ を積分形式に書き直す」——これが部分積分です：

部分積分は積の微分法則の積分版です：

\int u\,dv = uv - \int v\,du

$u$ と $dv$ の選び方のコツ：LIATE の順で $u$ を選ぶ——「リアテ」と覚えましょう：

Log（対数）
Inverse trig（逆三角）
Algebraic（代数・多項式）
Trig（三角）
Exponential（指数）

例 1： $\int x e^x\,dx$

「 $x$ と $e^x$ の積——LIATE では代数（ $x$ ）が先」—— $u = x$ （代数）、 $dv = e^x\,dx$ （指数）と選ぶ： $du = dx$ 、 $v = e^x$

\int x e^x\,dx = x e^x - \int e^x\,dx = x e^x - e^x + C = e^x(x-1)+C

例 2： $\int x \sin x\,dx$

$u = x$ 、 $dv = \sin x\,dx$ ： $du = dx$ 、 $v = -\cos x$

\int x \sin x\,dx = -x\cos x - \int(-\cos x)\,dx = -x\cos x + \sin x + C

例 3： $\int \ln x\,dx$

「 $\ln x$ は LIATE で一番左（対数）なので $u$ に選ぶ」—— $u = \ln x$ 、 $dv = dx$ ： $du = \dfrac{1}{x}dx$ 、 $v = x$

\int \ln x\,dx = x\ln x - \int x \cdot \frac{1}{x}\,dx = x\ln x - x + C

繰り返し部分積分

「部分積分しても積分が残る場合、もう一度部分積分する」—— $\displaystyle\int x^2 e^x\,dx$ のように $u$ として使う部分が複雑な場合：

1回目： $u = x^2$ 、 $dv = e^x dx$ → $x^2 e^x - \displaystyle\int 2x e^x\,dx$

2回目： $\displaystyle\int 2x e^x\,dx = 2(x-1)e^x$ （例 1 より）

\int x^2 e^x\,dx = x^2 e^x - 2(x-1)e^x + C = e^x(x^2-2x+2)+C

循環する部分積分

「2 回やると元の積分が出てきた！」—— $\displaystyle\int e^x \sin x\,dx$ は部分積分を 2 回行うと元の積分が出てくる（循環）：

$I = \displaystyle\int e^x \sin x\,dx$

1回目： $e^x \sin x - \displaystyle\int e^x \cos x\,dx$

2回目の積分： $e^x \cos x + \displaystyle\int e^x \sin x\,dx = e^x \cos x + I$

「右辺に $I$ が出てきたので、両辺に $I$ が含まれる方程式になった」——これを解けば：

I = e^x \sin x - e^x \cos x - I \implies 2I = e^x(\sin x - \cos x) + C

\int e^x \sin x\,dx = \frac{e^x(\sin x - \cos x)}{2} + C

まとめ

\text{置換: } u = g(x) \Rightarrow du = g'(x)\,dx

\text{部分積分: } \int u\,dv = uv - \int v\,du

置換積分：複合関数の積分に使う——「内側の関数を $u$ に置き換えて単純化」
部分積分：多項式×指数・三角・対数の形に使う——「積の微分法則の逆操作」
LIATE の順で $u$ を選ぶ——「対数・逆三角・多項式・三角・指数」の優先順位

次回は定積分——面積を数値として確定させる、微分積分学の根幹を学びます。