関数の連続性

連続性の定義

「グラフが途切れないで描ける」状態を連続と言います。鉛筆を紙から離さずにスイスイと描けるなら連続です。逆に途中でペンを上げなければならない点があれば、そこが不連続の点です。

前回は「極限」を学びました。今回はそれを発展させて連続性（continuity）を定義します。

関数 $f$ が $x = a$ で連続であるとは、次の 3 条件がすべて成立することです：

$f(a)$ が定義されている（その点で値がある）
$\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)$ が存在する（近づいたときの行き先がある）
$\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ （行き先と実際の値が一致する）

一言で言えば「グラフを鉛筆で紙から離さずに描ける」状態です。

不連続の種類

除去可能不連続（Removable Discontinuity）

極限値は存在するが、 $f(a)$ が定義されていないか、 $f(a) \neq \lim f(x)$ となっている場合。「穴」が一つあるイメージです。

f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} \quad (x \neq 1)

$x = 1$ での値を $2$ と定義し直せば連続になるため「除去可能」と呼びます。穴を埋めるだけで修復できるタイプです。

跳躍不連続（Jump Discontinuity）

左極限と右極限は存在するが、両者が一致しない場合。グラフが「ジャンプ」します。

たとえばエレベーターのボタンを押した瞬間を想像してください——押す前と押した後で床の数字がパッと変わります。値が「飛んでいる」状態です。

f(x) = \begin{cases} x + 1 & (x < 0) \\ x - 1 & (x \geq 0) \end{cases}

$x = 0$ で $\lim_{x\to 0^-} f(x) = 1$ 、 $\lim_{x\to 0^+} f(x) = -1$ となり不一致。

無限不連続（Infinite Discontinuity）

$\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$ となる場合。 $f(x) = 1/x$ の $x = 0$ が典型例。グラフが垂直に上や下に向かって突き抜けていきます。

デモ：不連続点をインタラクティブに確認

マウスを左右に動かして $x$ を動かしてください。不連続点（ $x = -2$ の跳躍、 $x = 1$ の除去可能不連続）を通過するときにグラフがどう変わるかを観察できます。

白丸（開円）：その点での値がない（定義されていない）
青丸（閉円）：その点での値がある

連続・不連続のグラフ。開円（open circle）＝その点での定義なし、閉円＝定義あり。

function loop() {
ctx.clearRect(0, 0, W, H);
var scale=55;
var ox=W/2, oy=H/2;

function toSx(x){return ox+x*scale;}
function toSy(y){return oy-y*scale;}

function drawAxes(){
  ctx.strokeStyle='rgba(255,255,255,0.15)';
  ctx.lineWidth=1;
  ctx.beginPath();ctx.moveTo(0,oy);ctx.lineTo(W,oy);ctx.stroke();
  ctx.beginPath();ctx.moveTo(ox,0);ctx.lineTo(ox,H);ctx.stroke();
  ctx.fillStyle='rgba(255,255,255,0.3)';
  ctx.font='10px monospace';
  ctx.textAlign='center';
  for(var i=-4;i<=4;i++){
    if(i===0)continue;
    ctx.fillText(i,toSx(i),oy+14);
  }
  ctx.textAlign='right';
  for(var j=-3;j<=3;j++){
    if(j===0)continue;
    ctx.fillText(j,ox-6,toSy(j)+4);
  }
}

// Piecewise function:
// x < -2 : 0.3*x + 1  (left branch)
// -2 <= x < 1 : 0.5*(x+2) - 1  (middle branch, open at x=1)
// x >= 1 : -0.5*x + 2  (right branch, closed at x=1 with different value = 1.5)
function f(x){
  if(x<-2) return 0.3*x+2.4;
  if(x<1)  return 0.5*(x+2)-2;
  return -0.4*x+2;
}

ctx.fillStyle='#0d1117';
ctx.fillRect(0,0,W,H);
drawAxes();

// Draw three segments separately
var col='#4fc3f7';
ctx.strokeStyle=col; ctx.lineWidth=2;

// Segment 1: x < -2
ctx.beginPath();
var first=true;
for(var xi=-W/2;xi<=-2*scale-3;xi+=1){
  var x=xi/scale;
  var y=f(x);
  if(first){ctx.moveTo(toSx(x),toSy(y));first=false;}
  else ctx.lineTo(toSx(x),toSy(y));
}
ctx.stroke();

// Segment 2: -2 <= x < 1
ctx.beginPath();
first=true;
for(var xi2=-2*scale;xi2<=1*scale-3;xi2+=1){
  var x2=xi2/scale;
  var y2=f(x2);
  if(first){ctx.moveTo(toSx(x2),toSy(y2));first=false;}
  else ctx.lineTo(toSx(x2),toSy(y2));
}
ctx.stroke();

// Segment 3: x >= 1
ctx.beginPath();
first=true;
for(var xi3=1*scale;xi3<=W/2;xi3+=1){
  var x3=xi3/scale;
  var y3=f(x3);
  if(first){ctx.moveTo(toSx(x3),toSy(y3));first=false;}
  else ctx.lineTo(toSx(x3),toSy(y3));
}
ctx.stroke();

// Jump discontinuity at x=-2
// left limit: 0.3*(-2)+2.4 = 1.8
// right limit: 0.5*(-2+2)-2 = -2
var jumpLeft=0.3*(-2)+2.4;
var jumpRight=0.5*(0)-2;
// open circle at left approach value (x=-2, from left)
ctx.beginPath(); ctx.arc(toSx(-2),toSy(jumpLeft),5,0,Math.PI*2);
ctx.strokeStyle='#ff7043'; ctx.lineWidth=2; ctx.stroke();
ctx.fillStyle='#0d1117'; ctx.fill();
// closed circle at right value (x=-2, right branch takes over)
ctx.beginPath(); ctx.arc(toSx(-2),toSy(jumpRight),5,0,Math.PI*2);
ctx.fillStyle='#4fc3f7'; ctx.fill();

// Removable discontinuity at x=1
// limit from left: 0.5*(1+2)-2 = -0.5
var limAt1 = 0.5*(3)-2;
// actual value from right branch: -0.4*1+2 = 1.6
var valAt1 = -0.4*1+2;
// open circle at limit
ctx.beginPath(); ctx.arc(toSx(1),toSy(limAt1),5,0,Math.PI*2);
ctx.strokeStyle='#ff7043'; ctx.lineWidth=2; ctx.stroke();
ctx.fillStyle='#0d1117'; ctx.fill();
// closed circle at actual defined value
ctx.beginPath(); ctx.arc(toSx(1),toSy(valAt1),5,0,Math.PI*2);
ctx.fillStyle='#4fc3f7'; ctx.fill();

// Mouse interaction
var xm=(mx-ox)/scale;
var xm2=Math.max(-4.5,Math.min(4.5,xm));
var ym=f(xm2);
if(isFinite(ym)){
  ctx.setLineDash([4,4]);
  ctx.strokeStyle='rgba(255,202,40,0.4)';
  ctx.lineWidth=1;
  ctx.beginPath();ctx.moveTo(toSx(xm2),oy);ctx.lineTo(toSx(xm2),toSy(ym));ctx.stroke();
  ctx.beginPath();ctx.moveTo(ox,toSy(ym));ctx.lineTo(toSx(xm2),toSy(ym));ctx.stroke();
  ctx.setLineDash([]);
  ctx.beginPath(); ctx.arc(toSx(xm2),toSy(ym),5,0,Math.PI*2);
  ctx.fillStyle='#ffca28'; ctx.fill();
}

// Legend
ctx.fillStyle='#ff7043';
ctx.font='12px sans-serif';
ctx.textAlign='left';
ctx.fillText('○ 開円 = その点での値なし（不連続）',10, H-40);
ctx.fillStyle='#4fc3f7';
ctx.fillText('● 閉円 = その点での値あり',10, H-20);

// Annotations
ctx.fillStyle='rgba(255,112,67,0.9)';
ctx.font='bold 11px sans-serif';
ctx.textAlign='center';
ctx.fillText('跳躍不連続',toSx(-2),toSy(jumpLeft)-16);
ctx.fillText('除去可能不連続',toSx(1),toSy(limAt1)-16);

requestAnimationFrame(loop);
}
loop();

連続関数の性質

連続関数には非常に便利な定理が成立します。

中間値の定理（Intermediate Value Theorem）

$f$ が $[a, b]$ で連続で $f(a) \neq f(b)$ ならば、 $f(a)$ と $f(b)$ の間の任意の値 $k$ に対して、 $f(c) = k$ となる $c \in (a, b)$ が少なくとも 1 つ存在する。

これは「グラフが切れていなければ、必ずどこかで横線を横切る」という直感的な事実です。

身近な例で考えてみましょう——「朝は気温 15°、昼は気温 25°」とすると、その間のどこかで必ず気温が 20° だった瞬間があります。グラフが連続（途切れない）なら、その間の値は全て通るはずです。

方程式の解の存在証明（例： $x^3 - x - 1 = 0$ が解を持つ）に利用されます。

最大値・最小値定理（Extreme Value Theorem）

$f$ が閉区間 $[a, b]$ で連続ならば、 $f$ はその区間内で最大値と最小値を取る。

「閉じた区間で連続なら、最高点と最低点が必ず存在する」——これも直感的に納得できますね。

多項式・三角関数は連続

次の関数はすべての実数上で連続です：

多項式 $p(x) = a_n x^n + \cdots + a_0$ （どんな多項式もグラフは途切れない）
三角関数 $\sin x,\ \cos x$ （波のような滑らかな曲線）
指数関数 $e^x$ （右上がりの滑らかな曲線）

一方、 $\tan x = \sin x / \cos x$ は $\cos x = 0$ 、すなわち $x = \pi/2 + n\pi$ で不連続（無限不連続）になります。分母がゼロになるところで値が無限大に発散するためです。

まとめ

不連続の種類	極限値	関数値	特徴
除去可能	存在する	異なるか未定義	穴が 1 つ——値を定義し直せば修復できる
跳躍	左右が不一致	どちらかと一致か未定義	グラフがジャンプ——エレベーターの階表示のよう
無限	$\pm\infty$	未定義	垂直漸近線——グラフが垂直に突き抜ける

次回は、極限の概念をさらに発展させて微分の定義を学びます——「瞬間の変化率」を厳密に捉える差分商のアイデアです。