三角関数の微分

三角関数の微分公式

「波がもっとも急に上昇しているのはどこか」—— $\sin x$ のグラフで一番急に上がっている部分は $x = 0$ の付近で、そこでの傾きは $\cos 0 = 1$ 。これが「 $\sin x$ の微分が $\cos x$ 」という事実の直感的な意味です。

\frac{d}{dx}\sin x = \cos x

\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x

\frac{d}{dx}\tan x = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x

$\sin x$ の微分の証明

「定義に戻って、加法定理と極限の組み合わせで証明する」——差分商の定義から出発します：

\frac{d}{dx}\sin x = \lim_{h \to 0}\frac{\sin(x+h) - \sin x}{h}

加法定理 $\sin(x+h) = \sin x \cos h + \cos x \sin h$ を使うと——「 $\sin(x+h)$ を展開して整理する」：

= \lim_{h \to 0}\frac{\sin x \cos h + \cos x \sin h - \sin x}{h} = \lim_{h \to 0}\left[\sin x \cdot \frac{\cos h - 1}{h} + \cos x \cdot \frac{\sin h}{h}\right]

ここで二つの重要な極限——「 $h$ が小さいとき $\sin h \approx h$ 、 $\cos h \approx 1$ 」という近似が背景にあります：

\lim_{h \to 0}\frac{\sin h}{h} = 1, \qquad \lim_{h \to 0}\frac{\cos h - 1}{h} = 0

を使うと：

\frac{d}{dx}\sin x = \sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1 = \cos x

デモ： $\sin x$ の接線傾きが $\cos x$ に等しい

マウスを左右に動かすと、 $\sin x$ 上の接点が移動します。接線の傾き（数値）が $\cos x$ の値と一致することをリアルタイムで確認できます。

y=sin x（青）の接線傾き＝ cos x（緑）の値。マウスで接点を移動。

function loop() {
ctx.clearRect(0, 0, W, H);
var scale=55;
var ox=W/2, oy=H/2;

function toSx(x){return ox+x*scale;}
function toSy(y){return oy-y*scale;}

function drawAxes(){
  ctx.strokeStyle='rgba(255,255,255,0.12)';
  ctx.lineWidth=1;
  ctx.beginPath();ctx.moveTo(0,oy);ctx.lineTo(W,oy);ctx.stroke();
  ctx.beginPath();ctx.moveTo(ox,0);ctx.lineTo(ox,H);ctx.stroke();
  // π markers
  ctx.fillStyle='rgba(255,255,255,0.25)';
  ctx.font='10px monospace';
  ctx.textAlign='center';
  var piVals=[-2,-1,0,1,2];
  var piLabels=['-2π','-π','0','π','2π'];
  for(var i=0;i<piVals.length;i++){
    var xp=piVals[i]*Math.PI;
    ctx.fillText(piLabels[i],toSx(xp),oy+15);
  }
  ctx.textAlign='right';
  ctx.fillText('1',ox-6,toSy(1)+4);
  ctx.fillText('-1',ox-6,toSy(-1)+4);
}

function plotCurve(fn,color,lw,dash){
  ctx.strokeStyle=color;ctx.lineWidth=lw||2;
  if(dash)ctx.setLineDash(dash);else ctx.setLineDash([]);
  ctx.beginPath();
  var first=true;
  for(var xi=-W/2;xi<=W/2;xi+=1){
    var x=xi/scale;
    var y=fn(x);
    if(!isFinite(y)||Math.abs(y)>3){first=true;continue;}
    if(first){ctx.moveTo(toSx(x),toSy(y));first=false;}
    else ctx.lineTo(toSx(x),toSy(y));
  }
  ctx.stroke();
  ctx.setLineDash([]);
}

ctx.fillStyle='#0d1117';
ctx.fillRect(0,0,W,H);
drawAxes();

plotCurve(function(x){return Math.sin(x);},'#4fc3f7',2.5);
plotCurve(function(x){return Math.cos(x);},'#81c784',2);

// Mouse x position
var x0=(mx-ox)/scale;
x0=Math.max(-5,Math.min(5,x0));
var y0=Math.sin(x0);
var slope=Math.cos(x0);  // f'(x) = cos(x)

// Tangent line
var ext=2;
ctx.strokeStyle='rgba(255,202,40,0.9)';
ctx.lineWidth=1.5;
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(toSx(x0-ext),toSy(y0+slope*(-ext)));
ctx.lineTo(toSx(x0+ext),toSy(y0+slope*ext));
ctx.stroke();

// Dashed vertical from sin point to x-axis
ctx.setLineDash([3,3]);
ctx.strokeStyle='rgba(79,195,247,0.3)';
ctx.lineWidth=1;
ctx.beginPath();ctx.moveTo(toSx(x0),toSy(y0));ctx.lineTo(toSx(x0),oy);ctx.stroke();

// Dashed horizontal from cos value to y-axis
var cosVal=Math.cos(x0);
ctx.strokeStyle='rgba(129,199,132,0.3)';
ctx.beginPath();ctx.moveTo(toSx(x0),toSy(cosVal));ctx.lineTo(ox,toSy(cosVal));ctx.stroke();
ctx.setLineDash([]);

// Dot on sin
ctx.beginPath();ctx.arc(toSx(x0),toSy(y0),6,0,Math.PI*2);
ctx.fillStyle='#ffca28';ctx.fill();

// Dot on cos at same x
ctx.beginPath();ctx.arc(toSx(x0),toSy(cosVal),5,0,Math.PI*2);
ctx.fillStyle='#a5d6a7';ctx.fill();

// Indicator on y-axis for slope value
ctx.beginPath();ctx.arc(ox,toSy(slope),4,0,Math.PI*2);
ctx.fillStyle='#ffca28';ctx.fill();

// Info box
ctx.fillStyle='rgba(0,0,0,0.65)';
ctx.fillRect(8,8,250,80);
ctx.font='13px monospace';ctx.textAlign='left';
ctx.fillStyle='#4fc3f7';
ctx.fillText('x = '+x0.toFixed(3),14,28);
ctx.fillText('sin x = '+y0.toFixed(3),14,46);
ctx.fillStyle='#81c784';
ctx.fillText('cos x = '+cosVal.toFixed(3),14,64);
ctx.fillStyle='#ffca28';
ctx.fillText('接線傾き = '+slope.toFixed(3),14,82);

// Legend
ctx.font='12px sans-serif';ctx.textAlign='right';
ctx.fillStyle='#4fc3f7';ctx.fillText('── sin x',W-10,H-28);
ctx.fillStyle='#81c784';ctx.fillText('── cos x',W-10,H-10);

requestAnimationFrame(loop);
}
loop();

$\cos x$ と $\tan x$ の微分

$\cos x$ の微分

「 $\sin$ の微分が $\cos$ なら、 $\cos$ の微分は？」—— $\cos x = \sin\!\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right)$ を利用するか、加法定理から直接導けます：

\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x

よって $\sin \to \cos \to -\sin \to -\cos \to \sin \to \cdots$ と 4 周期で回ります——「4 回微分すると元に戻る」という美しい循環構造です。

$\tan x$ の微分

「 $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ なので商の微分法則を使う」—— $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ を使ってシンプルにまとめます：

\frac{d}{dx}\tan x = \frac{d}{dx}\frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x}

連鎖律と組み合わせる

「三角関数の中に複雑な式があっても、連鎖律で対応できる」：

\frac{d}{dx}\sin(3x^2) = \cos(3x^2) \cdot 6x = 6x\cos(3x^2)

\frac{d}{dx}\cos^3 x = 3\cos^2 x \cdot (-\sin x) = -3\sin x\cos^2 x

\frac{d}{dx}\sqrt{\sin x} = \frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}

重要な極限： $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$

「 $x$ が小さくなるにつれて、 $\sin x$ と $x$ がほぼ同じ値になる」——これが三角関数の微分の基礎となります。単位円（半径 $1$ ）の扇形と三角形の面積を比較すると：

\frac{1}{2}\sin x \leq \frac{1}{2}x \leq \frac{1}{2}\tan x \quad (0 < x < \tfrac{\pi}{2})

各辺を $\dfrac{\sin x}{2}$ で割り、はさみうちの原理を適用すると $\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin x}{x} = 1$ が得られます——「三角形の面積と扇形の面積の比が 1 に近づく」という幾何的な直感と一致します。

まとめ

(\sin x)' = \cos x, \quad (\cos x)' = -\sin x, \quad (\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}

$\sin x$ と $\cos x$ は互いに「1 ステップ違い」の微分関係——「 $\sin$ を微分すると $\cos$ に、 $\cos$ を微分すると $-\sin$ になる」
連鎖律と組み合わせることで複雑な三角関数も微分可能——「外と内の微分を順番に」
$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$ が三角関数の微分を支える基礎

次回は指数関数・対数関数の微分—— $e^x$ の「自分自身が微分になる」という驚くべき性質を探ります。