増減表と極値

増減表とは

「この道はどこが一番高い？どこが一番低い？」——山道のような曲線でも、微分を使えば傾きがプラスかマイナスかを調べるだけで「山頂（極大）」と「谷底（極小）」を見つけられます。

微分の最も重要な応用の一つが、関数の増減（increasing/decreasing）と極値（extrema）の分析です。

$f'(x) > 0$ ならば $f$ はその区間で増加、 $f'(x) < 0$ ならば減少。 $f'(x) = 0$ となる点が極値の候補です——「傾きがゼロ = 水平 = 山頂か谷底」。

例： $f(x) = x^3 - 3x$

f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x+1)(x-1)

$f'(x) = 0$ となる点： $x = -1$ 、 $x = 1$ ——「傾きがゼロになる点が極値の候補」

区間	$f'(x)$ の符号	$f(x)$ の変化
$x < -1$	$3(x+1)(x-1) > 0$	増加 $\nearrow$
$x = -1$	$0$	極大
$-1 < x < 1$	$< 0$	減少 $\searrow$
$x = 1$	$0$	極小
$x > 1$	$> 0$	増加 $\nearrow$

f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2 \quad \text{（極大値）}

f(1) = 1 - 3 = -2 \quad \text{（極小値）}

「 $x = -1$ で山頂（高さ 2）、 $x = 1$ で谷底（高さ $-2$ ）」——これが増減表から読み取れることです。

デモ： $f(x) = x^3 - 3x$ と $f'(x) = 3x^2 - 3$

$f(x)$ （青）と $f'(x)$ （緑）を同時に表示。 $f'(x)$ の色付き領域（緑＝正、赤＝負）が $f(x)$ の増減と対応しています。マウスで接点を動かすと詳細値が表示されます。

f(x)=x³−3x（青）と f'(x)=3x²−3（緑）。緑領域=増加、赤領域=減少。

function loop() {
ctx.clearRect(0, 0, W, H);
var scale=60;
var ox=W/2, oy=H/2;

function toSx(x){return ox+x*scale;}
function toSy(y){return oy-y*scale;}

function drawAxes(){
  ctx.strokeStyle='rgba(255,255,255,0.13)';
  ctx.lineWidth=1;
  ctx.beginPath();ctx.moveTo(0,oy);ctx.lineTo(W,oy);ctx.stroke();
  ctx.beginPath();ctx.moveTo(ox,0);ctx.lineTo(ox,H);ctx.stroke();
  ctx.fillStyle='rgba(255,255,255,0.25)';
  ctx.font='10px monospace';
  ctx.textAlign='center';
  for(var i=-4;i<=4;i++){
    if(i===0)continue;
    ctx.fillText(i,toSx(i),oy+14);
  }
  ctx.textAlign='right';
  for(var j=-3;j<=3;j++){
    if(j===0)continue;
    ctx.fillText(j,ox-6,toSy(j)+4);
  }
}

function plotCurve(fn,color,lw){
  ctx.strokeStyle=color;ctx.lineWidth=lw||2;
  ctx.beginPath();
  var first=true;
  for(var xi=-W/2;xi<=W/2;xi+=1){
    var x=xi/scale;
    var y=fn(x);
    if(!isFinite(y)||Math.abs(y)>H/scale+0.5){first=true;continue;}
    if(first){ctx.moveTo(toSx(x),toSy(y));first=false;}
    else ctx.lineTo(toSx(x),toSy(y));
  }
  ctx.stroke();
}

var f=function(x){return x*x*x-3*x;};
var fd=function(x){return 3*x*x-3;};

ctx.fillStyle='#0d1117';
ctx.fillRect(0,0,W,H);

// Shade regions based on sign of f'
// Decreasing region: -1 < x < 1, shade below x-axis area
ctx.fillStyle='rgba(239,83,80,0.08)';
ctx.fillRect(toSx(-1),0,toSx(1)-toSx(-1),H);
ctx.fillStyle='rgba(129,199,132,0.06)';
ctx.fillRect(0,0,toSx(-1),H);
ctx.fillRect(toSx(1),0,W-toSx(1),H);

drawAxes();

// Mark x=-1 and x=1 with vertical lines
ctx.setLineDash([4,4]);
ctx.strokeStyle='rgba(255,255,255,0.2)';
ctx.lineWidth=1;
ctx.beginPath();ctx.moveTo(toSx(-1),0);ctx.lineTo(toSx(-1),H);ctx.stroke();
ctx.beginPath();ctx.moveTo(toSx(1),0);ctx.lineTo(toSx(1),H);ctx.stroke();
ctx.setLineDash([]);

plotCurve(f,'#4fc3f7',2.5);
plotCurve(fd,'#81c784',2);

// Extrema markers
// Local max at (-1, 2)
ctx.beginPath();ctx.arc(toSx(-1),toSy(2),7,0,Math.PI*2);
ctx.strokeStyle='#ffca28';ctx.lineWidth=2;ctx.stroke();
ctx.fillStyle='rgba(255,202,40,0.2)';ctx.fill();
// Local min at (1, -2)
ctx.beginPath();ctx.arc(toSx(1),toSy(-2),7,0,Math.PI*2);
ctx.strokeStyle='#ff7043';ctx.lineWidth=2;ctx.stroke();
ctx.fillStyle='rgba(255,112,67,0.2)';ctx.fill();

// Labels for extrema
ctx.fillStyle='#ffca28';ctx.font='12px monospace';ctx.textAlign='left';
ctx.fillText('極大 (-1, 2)',toSx(-1)+10,toSy(2)-10);
ctx.fillStyle='#ff7043';
ctx.fillText('極小 (1, -2)',toSx(1)+10,toSy(-2)+18);

// Mouse interaction
var x0=(mx-ox)/scale;
x0=Math.max(-3.5,Math.min(3.5,x0));
var y0=f(x0);
var slope=fd(x0);

if(Math.abs(y0)<=H/scale){
  // Tangent
  var ext=1.2;
  ctx.strokeStyle='rgba(255,255,255,0.5)';
  ctx.lineWidth=1;
  ctx.setLineDash([4,4]);
  ctx.beginPath();
  ctx.moveTo(toSx(x0-ext),toSy(y0+slope*(-ext)));
  ctx.lineTo(toSx(x0+ext),toSy(y0+slope*ext));
  ctx.stroke();
  ctx.setLineDash([]);

  ctx.beginPath();ctx.arc(toSx(x0),toSy(y0),5,0,Math.PI*2);
  ctx.fillStyle='#fff';ctx.fill();

  // Sign indicator
  var signColor=slope>0?'#81c784':(slope<0?'#ef5350':'#ffca28');
  var signText=slope>0?'f'> 0: 増加↗':(slope<0?'f'< 0: 減少↘':'f'= 0: 極値');
  ctx.fillStyle='rgba(0,0,0,0.65)';
  ctx.fillRect(8,8,230,72);
  ctx.font='13px monospace';ctx.textAlign='left';
  ctx.fillStyle='#4fc3f7';
  ctx.fillText('x = '+x0.toFixed(3),14,28);
  ctx.fillText('f(x) = '+y0.toFixed(3),14,46);
  ctx.fillStyle=signColor;
  ctx.fillText(signText,14,64);
}

// Legend
ctx.font='12px sans-serif';ctx.textAlign='right';
ctx.fillStyle='#4fc3f7';ctx.fillText('── f(x)=x³−3x',W-10,H-28);
ctx.fillStyle='#81c784';ctx.fillText("── f'(x)=3x²−3",W-10,H-10);

requestAnimationFrame(loop);
}
loop();

2 階導関数と凹凸

「坂道の傾き方が急になっているのか、緩やかになっているのか」—— $f''(x)$ の符号でグラフの凹凸を判定できます。下に開いたお椀か、上に開いたお椀かの違いです：

f''(x) = 6x

区間	$f''(x)$	凹凸
$x < 0$	$< 0$	上に凸（ $\cap$ ）——「お椀が上向き」
$x = 0$	$0$	変曲点——「曲がり方が切り替わる場所」
$x > 0$	$> 0$	下に凸（ $\cup$ ）——「お椀が下向き」

変曲点 $x = 0$ で $f(0) = 0$ 。この点でグラフの「曲がり方」が反転します。

2 階微分テスト（Second Derivative Test）

「増減表を使わずに極大・極小を判定する簡単な方法」——極値の候補 $x = c$ （ $f'(c) = 0$ ）に対して：

$f''(c) > 0$ ならば極小——「下に凸 = 谷底」
$f''(c) < 0$ ならば極大——「上に凸 = 山頂」
$f''(c) = 0$ ならば判定不能（増減表に戻る）

今回の例： $f''(-1) = -6 < 0$ → 極大、 $f''(1) = 6 > 0$ → 極小 ✓

増減表の書き方

「横一行に増減の情報を整理する」——数学の問題で頻出の表現方法です：

\begin{array}{c|ccccc} x & \cdots & -1 & \cdots & 1 & \cdots \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \nearrow & 2 & \searrow & -2 & \nearrow \end{array}

まとめ

$f'(x) = 0$ を解く → 極値の候補——「まず傾きがゼロになる点を探す」
各区間で $f'(x)$ の符号を調べる——「プラスかマイナスかを確認する」
符号が $+ \to -$ : 極大、 $- \to +$ : 極小——「上り坂から下り坂 = 山頂、下り坂から上り坂 = 谷底」
$f''(x)$ の符号で凹凸、 $f''(x) = 0$ で変曲点——「2 階微分で曲がり方を判定」

次回は最大値・最小値の求め方——閉区間上での最適化と実際の応用問題を扱います。