最大・最小値の求め方

最大値・最小値定理

「決まった範囲の中で、どこで一番高くなり、どこで一番低くなるか」——たとえば「気温が最高になるのは何時か」「材料費を最小にする容器の寸法は何か」という問題が最適化の典型例です。

最大値・最小値定理（Extreme Value Theorem）：閉区間 $[a, b]$ 上で連続な関数 $f$ は、必ずその区間内で最大値と最小値を取る——「範囲が限られていれば、必ず最高点と最低点がある」という保証です。

閉区間法（Closed Interval Method）

「臨界点（傾きがゼロの点）と両端の値を全部調べて比べる」——これが閉区間での最大・最小値を求める基本手順です：

$[a, b]$ 上で $f$ の最大・最小を求める手順：

$f'(x) = 0$ となる $x$ を区間内で全て求める（臨界点）——「傾きがゼロ = 山頂か谷底の候補」
端点 $f(a)$ 、 $f(b)$ も計算する——「範囲の両端も候補になる」
全ての値を比較して最大・最小を決定——「一番大きいのが最大値、一番小さいのが最小値」

例

$f(x) = x^3 - 3x + 1$ を $[-1, 2]$ で最大・最小化する。

$f'(x) = 3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x = \pm 1$

区間 $[-1, 2]$ 内の臨界点は $x = 1$ のみ（ $x = -1$ は端点）——「 $-1$ は区間の左端」です。

$x$	$f(x)$
$-1$ （端点）	$(-1)^3-3(-1)+1 = 3$
$1$ （臨界点）	$1-3+1 = -1$
$2$ （端点）	$8-6+1 = 3$

最大値 $= 3$ （ $x=-1$ または $x=2$ ）、最小値 $= -1$ （ $x=1$ ）——「最大値が 2 か所で達成されることもある」という点に注意です。

デモ：円に内接する長方形の面積最大化

「円の中に収まる長方形で、面積を最大にするには？」——直感的には「横長でも縦長でもなく、正方形のとき」です。計算で確かめましょう。

半径 $r = 2$ の円に内接する長方形を考えます。一頂点の $x$ 座標を $x$ とすると、縦の半分は $y = \sqrt{r^2 - x^2}$ 、面積は：

A(x) = 2x \cdot 2\sqrt{r^2 - x^2} = 4x\sqrt{4 - x^2} \quad (0 < x < 2)

微分すると：

A'(x) = 4\sqrt{4-x^2} + 4x \cdot \frac{-x}{\sqrt{4-x^2}} = \frac{4(4-2x^2)}{\sqrt{4-x^2}}

$A'(x) = 0 \Rightarrow x = \sqrt{2}$ 、 $y = \sqrt{2}$ （正方形のとき最大！）——「縦と横が等しい正方形が最大面積」という答えが数学的に証明されます。

マウスを動かして長方形を変え、面積の変化を観察してください。

半径2の円に内接する長方形。マウスで幅を変えて面積最大を探す。

function loop() {
ctx.clearRect(0, 0, W, H);
var cx=W/2, cy=H/2+10;
var r=130; // pixel radius = 2 units, so scale=65
var scale=65;

function toSx(x){return cx+x*scale;}
function toSy(y){return cy-y*scale;}

ctx.fillStyle='#0d1117';
ctx.fillRect(0,0,W,H);

// Draw circle
ctx.beginPath();
ctx.arc(cx,cy,r,0,Math.PI*2);
ctx.strokeStyle='rgba(79,195,247,0.5)';
ctx.lineWidth=2;
ctx.stroke();

// Axes
ctx.strokeStyle='rgba(255,255,255,0.12)';
ctx.lineWidth=1;
ctx.beginPath();ctx.moveTo(0,cy);ctx.lineTo(W,cy);ctx.stroke();
ctx.beginPath();ctx.moveTo(cx,0);ctx.lineTo(cx,H);ctx.stroke();

// mouse x in [-2, 2] range
var xm=(mx-cx)/scale;
xm=Math.max(0.05,Math.min(1.95,xm));
var ym=Math.sqrt(4-xm*xm);

// Area in unit space
var A=4*xm*ym;
var Amax=8; // at x=sqrt(2), A=4*sqrt(2)*sqrt(2)=8

// Draw rectangle
var rx=toSx(-xm), ry=toSy(ym);
var rw=toSx(xm)-toSx(-xm), rh=toSy(-ym)-toSy(ym);
var frac=A/Amax;
var rr=Math.round(239+(1-frac)*16);
var rg=Math.round(83+frac*116);
var rb=Math.round(80);
ctx.fillStyle='rgba('+rr+','+rg+','+rb+',0.25)';
ctx.fillRect(rx,ry,rw,rh);
ctx.strokeStyle='rgba('+rr+','+rg+','+rb+',0.9)';
ctx.lineWidth=2;
ctx.strokeRect(rx,ry,rw,rh);

// Draw corner points
var corners=[
  [xm,ym],[xm,-ym],[-xm,-ym],[-xm,ym]
];
for(var i=0;i<corners.length;i++){
  ctx.beginPath();
  ctx.arc(toSx(corners[i][0]),toSy(corners[i][1]),4,0,Math.PI*2);
  ctx.fillStyle='#ffca28';ctx.fill();
}

// Show optimal rectangle outline
var opt=Math.sqrt(2);
var opty=Math.sqrt(2);
ctx.strokeStyle='rgba(129,199,132,0.4)';
ctx.lineWidth=1.5;
ctx.setLineDash([5,5]);
ctx.strokeRect(toSx(-opt),toSy(opty),toSx(opt)-toSx(-opt),toSy(-opty)-toSy(opty));
ctx.setLineDash([]);

// Area graph (mini bar)
var barX=W-110, barY=H-30, barW=90;
ctx.fillStyle='rgba(0,0,0,0.5)';
ctx.fillRect(barX-5,barY-50,barW+10,60);
ctx.fillStyle='rgba('+rr+','+rg+','+rb+',0.8)';
ctx.fillRect(barX,barY-frac*40,barW,frac*40);
ctx.strokeStyle='rgba(255,255,255,0.3)';
ctx.lineWidth=1;
ctx.strokeRect(barX,barY-40,barW,40);
ctx.fillStyle='rgba(255,255,255,0.7)';
ctx.font='10px monospace';ctx.textAlign='center';
ctx.fillText('面積',barX+barW/2,barY+10);

// Info panel
ctx.fillStyle='rgba(0,0,0,0.7)';
ctx.fillRect(8,8,250,92);
ctx.font='13px monospace';ctx.textAlign='left';
ctx.fillStyle='#4fc3f7';
ctx.fillText('x = '+xm.toFixed(3),14,28);
ctx.fillText('y = '+ym.toFixed(3),14,46);
ctx.fillStyle='rgba('+rr+','+rg+','+rb+',1)';
ctx.fillText('面積 A = '+A.toFixed(3),14,64);
ctx.fillStyle='#81c784';
ctx.fillText('最大面積 = 8.000 (x=√2)',14,82);

// Arrow to max
if(Math.abs(xm-Math.sqrt(2))<0.15){
  ctx.fillStyle='#81c784';
  ctx.font='bold 13px sans-serif';ctx.textAlign='center';
  ctx.fillText('★ 最大！',cx,cy-r-20);
}

// Labels
ctx.fillStyle='rgba(255,255,255,0.6)';
ctx.font='12px sans-serif';ctx.textAlign='right';
ctx.fillText('最適 (x=√2, A=8)',W-10,H-10);

requestAnimationFrame(loop);
}
loop();

なぜ正方形が最大なのか

「式を変形して最大化を簡単にする」—— $A(x) = 4x\sqrt{4-x^2}$ の最大化を $A^2$ の最大化で行うと（ $A > 0$ なので同値）：

A^2 = 16x^2(4-x^2)

$u = x^2$ と置くと $A^2 = 16u(4-u) = 64u - 16u^2$ 。

$\dfrac{d(A^2)}{du} = 64 - 32u = 0 \Rightarrow u = 2 \Rightarrow x = \sqrt{2}$

このとき $y = \sqrt{4-2} = \sqrt{2}$ 。 $x = y = \sqrt{2}$ なので確かに正方形！

AM-GM 不等式でも証明できます——「2 つの数の積は、その相加平均の二乗以下」という不等式を使います：

x^2(4-x^2) \leq \left(\frac{x^2 + (4-x^2)}{2}\right)^2 = 4

等号は $x^2 = 4-x^2$ 、すなわち $x = \sqrt{2}$ のとき成立——「等しいとき（正方形のとき）に面積が最大」という美しい結果です。

実用的な最適化問題のパターン

箱の体積最大化

「正方形の薄板から四隅を切り取って箱を作るとき、体積を最大化する切り取り量を求める」——設計の現場でも出てくる問題です。

最小コスト問題

「タンクや容器の表面積（材料費）を一定体積のもとで最小化する」——「同じ容量なら球形が一番材料を節約できる」という日常に潜む数学です。

費用・利益最大化

「経済学でも微分を使って利益最大化点（限界費用＝限界収益）を求めます」——「もう 1 個作ったときの収益増加 = もう 1 個作ったときのコスト増加」が利益最大の条件です。

まとめ

閉区間法：臨界点と端点の値を全て比較——「傾きがゼロの点と両端の全員を集めて比べる」
実際の問題：変数を絞り込み、1 変数の関数として定式化——「まず何を変数にするかを決める」
多くの最適形状は対称性を持つ（正方形、正三角形など）——「対称性 = 均等 = 最適」というパターンが多い

次回は接線と法線の方程式——微分係数を使って具体的な直線の方程式を求めます。