微分の定義——差分商から導関数へ

「瞬間の速度」を数式にする

車のスピードメーターは「今この瞬間の速度」を示しています。しかし数学的には「ある一瞬の速度」をどう定義するのでしょうか？

たとえば、東京から大阪まで3時間かけて移動した場合、平均速度は計算できます。でも「ちょうど2時間後の時点の速度」はどう求めるのでしょうか？

「1時間後から3時間後」の間の平均速度を計算し、次に「2時間後から2.5時間後」の平均を計算し、さらに「2時間後から2.1時間後」……と区間を短くしていくと、ある値に近づいていきます。その「極限」が瞬間速度です。

時刻 $t$ での位置が $s(t)$ のとき、時刻 $t$ から $t + h$ の間の平均速度は：

\text{平均速度} = \frac{s(t+h) - s(t)}{h}

$h \to 0$ の極限を取ると、これが瞬間速度になります。これと全く同じアイデアが「微分」の定義です。

差分商と導関数

関数 $f(x)$ の点 $x = a$ における微分係数（derivative at a point）を：

f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}

と定義します。この $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ を差分商（difference quotient）といいます。

各点 $x$ での微分係数を関数として表したものが導関数（derivative function）：

f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

別の記法として $\dfrac{d}{dx}f(x)$ 、 $\dfrac{df}{dx}$ 、 $\dot{f}$ なども使われます。

具体例： $f(x) = x^2$ を微分する

差分商を計算します。 $h$ を含む式を整理して、最後に $h \to 0$ とします。

\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{(x+h)^2 - x^2}{h} = \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h} = \frac{2xh + h^2}{h} = 2x + h

$h \to 0$ で：

f'(x) = \lim_{h \to 0}(2x + h) = 2x

つまり $\dfrac{d}{dx}x^2 = 2x$ です。「 $x^2$ のグラフ上の各点での傾き（接線の傾き）が $2x$ で表される」という意味です。

幾何的意味：割線から接線へ

$\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ は点 $(x, f(x))$ と点 $(x+h, f(x+h))$ を結ぶ割線（secant line）の傾きです。

想像してみてください——曲線上に2点を取り、それを結ぶ直線（割線）の傾きを計算します。2点を近づけると、割線はだんだん「カーブに沿った接線」に近づいていきます。

$h \to 0$ にするにつれて、割線は点 $(x, f(x))$ における接線（tangent line）に近づきます。

デモ：割線が接線に収束する様子

マウスを左右に動かして接点の位置 $x_0$ を変えられます。 $h$ は自動的にゆっくり減少し、オレンジの割線が黄色の接線に収束していきます。割線の傾きが接線の傾き（= $2x_0$ ）に近づく様子を確認してください。

y = x² の割線（橙）が接線（黄）に近づく。マウスで接点を移動。

function loop() {
ctx.clearRect(0, 0, W, H);
var scale=55;
var ox=W/2, oy=H*0.65;

function toSx(x){return ox+x*scale;}
function toSy(y){return oy-y*scale;}

function drawAxes(){
  ctx.strokeStyle='rgba(255,255,255,0.15)';
  ctx.lineWidth=1;
  ctx.beginPath();ctx.moveTo(0,oy);ctx.lineTo(W,oy);ctx.stroke();
  ctx.beginPath();ctx.moveTo(ox,0);ctx.lineTo(ox,H);ctx.stroke();
  ctx.fillStyle='rgba(255,255,255,0.3)';
  ctx.font='10px monospace';
  ctx.textAlign='center';
  for(var i=-4;i<=4;i++){
    if(i===0)continue;
    ctx.fillText(i,toSx(i),oy+14);
  }
  ctx.textAlign='right';
  for(var j=0;j<=5;j++){
    if(j===0)continue;
    ctx.fillText(j,ox-6,toSy(j)+4);
  }
}

function plotCurve(f,color,lw){
  ctx.strokeStyle=color;ctx.lineWidth=lw||2;
  ctx.beginPath();
  var first=true;
  for(var xi=-W/2;xi<=W/2;xi+=1){
    var x=xi/scale;
    var y=f(x);
    if(!isFinite(y)||y>H/scale||y<-2){first=true;continue;}
    if(first){ctx.moveTo(toSx(x),toSy(y));first=false;}
    else ctx.lineTo(toSx(x),toSy(y));
  }
  ctx.stroke();
}

function drawLine(x1,y1,x2,y2,color,lw,dash){
  ctx.strokeStyle=color;ctx.lineWidth=lw||1;
  if(dash)ctx.setLineDash(dash);else ctx.setLineDash([]);
  ctx.beginPath();ctx.moveTo(x1,y1);ctx.lineTo(x2,y2);ctx.stroke();
  ctx.setLineDash([]);
}

ctx.fillStyle='#0d1117';
ctx.fillRect(0,0,W,H);
drawAxes();

// f(x) = x^2
plotCurve(function(x){return x*x;},'#4fc3f7',2.5);

// Base x from mouse
var x0=(mx-ox)/scale;
x0=Math.max(-2.5,Math.min(2.5,x0));
var y0=x0*x0;

// Oscillating h
var t=Date.now()/1000;
var h=1.5*Math.abs(Math.sin(t*0.5))+0.03;

var x1=x0+h;
var y1=x1*x1;

// Secant slope
var slope=(y1-y0)/h;
// Exact tangent slope
var tangentSlope=2*x0;

// Draw secant line extended
var ext=3;
var sx0=toSx(x0-ext); var sy0=toSy(y0+slope*(x0-ext-x0));
var sx1=toSx(x0+ext); var sy1=toSy(y0+slope*(x0+ext-x0));
drawLine(sx0,sy0,sx1,sy1,'rgba(255,112,67,0.85)',2);

// Draw tangent line
var tx0=toSx(x0-ext); var ty0=toSy(y0+tangentSlope*(x0-ext-x0));
var tx1=toSx(x0+ext); var ty1=toSy(y0+tangentSlope*(x0+ext-x0));
drawLine(tx0,ty0,tx1,ty1,'rgba(255,202,40,0.9)',2,[6,4]);

// Points on curve
ctx.beginPath();ctx.arc(toSx(x0),toSy(y0),5,0,Math.PI*2);
ctx.fillStyle='#ffca28';ctx.fill();
ctx.beginPath();ctx.arc(toSx(x1),toSy(y1),5,0,Math.PI*2);
ctx.fillStyle='#ff7043';ctx.fill();

// Vertical dashed from x0 to x1
drawLine(toSx(x1),toSy(y1),toSx(x1),oy,'rgba(255,112,67,0.3)',1,[3,3]);

// h bracket on x-axis
ctx.strokeStyle='rgba(255,112,67,0.6)';ctx.lineWidth=1;
ctx.beginPath();ctx.moveTo(toSx(x0),oy+8);ctx.lineTo(toSx(x1),oy+8);ctx.stroke();
ctx.fillStyle='rgba(255,112,67,0.8)';
ctx.font='11px monospace';ctx.textAlign='center';
ctx.fillText('h',toSx((x0+x1)/2),oy+22);

// Info panel
ctx.fillStyle='rgba(0,0,0,0.6)';
ctx.fillRect(8,8,220,90);
ctx.fillStyle='#ffca28';
ctx.font='13px monospace';ctx.textAlign='left';
ctx.fillText('x₀ = '+x0.toFixed(3),16,28);
ctx.fillText('h  = '+h.toFixed(3),16,46);
ctx.fillStyle='#ff7043';
ctx.fillText('割線の傾き = '+slope.toFixed(3),16,66);
ctx.fillStyle='#ffca28';
ctx.fillText('接線の傾き = '+tangentSlope.toFixed(3),16,84);

// Legend
ctx.fillStyle='#ff7043';
ctx.font='12px sans-serif';ctx.textAlign='left';
ctx.fillText('── 割線 (secant)',W-150,H-30);
ctx.fillStyle='#ffca28';
ctx.fillText('- - 接線 (tangent)',W-150,H-12);

requestAnimationFrame(loop);
}
loop();

微分可能性

関数が点 $x = a$ で微分可能であるためには、差分商の極限が存在しなければなりません。これは特に：

左微分 $= \displaystyle\lim_{h \to 0^-} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$
右微分 $= \displaystyle\lim_{h \to 0^+} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$

の両者が等しい必要があります。

例えば $f(x) = |x|$ は $x = 0$ で連続ですが、微分可能ではありません（左微分 $= -1$ 、右微分 $= +1$ ）。グラフで言えば、 $|x|$ のグラフは $x = 0$ で「とがっている」（V字型）ので、そこでの接線が一意に定まりません。

微分可能 $\Rightarrow$ 連続

重要な定理：微分可能な関数は必ず連続です。逆は成立しません（ $|x|$ の例）。

「なめらかに繋がっている（微分可能）ならば、途切れていない（連続）」は自然に納得できますね。

Leibniz 記法と Lagrange 記法

記法	読み方	意味
$f'(x)$	エフプライム	Lagrange 記法（よく使う）
$\dfrac{df}{dx}$	ディエフディエックス	Leibniz 記法
$\dfrac{d}{dx}[f(x)]$	ディーディエックス	演算子形式

Leibniz 記法は合成関数の微分（連鎖律）を書くときに特に便利です。「 $x$ に対する $f$ の変化率」という意味を直接的に表しています。

まとめ

f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

差分商は割線の傾き——2点を結ぶ直線の傾きです
$h \to 0$ で割線 → 接線——2点を近づけていくと、接線になります
接線の傾きが微分係数——「その点でのグラフの傾き」
$f(x) = x^2 \Rightarrow f'(x) = 2x$ —— $x$ の値が大きいほど傾きも大きい

次回は、毎回この定義から計算しなくて済む微分の計算規則（べき乗則・和の法則・定数倍）を学びます。