数学

#12 ふれてみよう高校数学代数と式の操作

二次不等式の解法

2次不等式とは

「ある商品の利益が $-x^2 + 4x - 3$ 円で表されるとき、利益が0より大きくなるのはいつか？」——こういった問いに答えるのが2次不等式です。

$ax^2 + bx + c > 0$ （または $< 0, \geq 0, \leq 0$ ）の形の不等式を2次不等式と言います。

解法の鍵は：

$y = ax^2 + bx + c$ のグラフを（頭の中で）描く
「 $y > 0$ 」なら $x$ 軸より上の領域、「 $y < 0$ 」なら $x$ 軸より下の領域
判別式 $D$ によって解の形が変わる

「グラフで考える」——これが2次不等式を解く最大のポイントです。

$a > 0$ の場合（上に開く放物線）

$a > 0$ のとき、放物線は下に凸（上に開く）です——「谷形の曲線」です。

ケース1： $D > 0$ （ $x$ 軸と2点で交わる）

$\alpha < \beta$ を2つの実数解とすると、「谷の底」が $x$ 軸より下なので：

ax²+bx+c > 0  →  x < α  または  x > β   （外側）
ax²+bx+c < 0  →  α < x < β               （谷の中）

ケース2： $D = 0$ （ $x$ 軸に接する、重解 $\alpha$ ）

ax²+bx+c > 0  →  x ≠ α のすべての実数（x < α または x > α）
ax²+bx+c < 0  →  解なし
ax²+bx+c ≥ 0  →  すべての実数

ケース3： $D < 0$ （ $x$ 軸と交わらない）

$a > 0$ のとき、グラフ全体が $x$ 軸より上——「全部プラス」です：

ax²+bx+c > 0  →  すべての実数
ax²+bx+c < 0  →  解なし

$a < 0$ の場合（下に開く放物線）

「山形の曲線」では上記の $>$ と $<$ の解が逆転します。

$-x^2 + 4x - 3 < 0$ （ $a = -1$ ）の場合：

まず $-1$ を掛けて $a > 0$ に変換（不等号逆転）——「両辺にマイナスを掛けると不等号が逆」：

$x^2 - 4x + 3 > 0$

$(x-1)(x-3) > 0$ → $x < 1$ または $x > 3$

解法フローチャート

ax² + bx + c > 0 を解く

        ↓
  a > 0 か a < 0 か？
       ↓        ↓
  (上凸)      (下凸：両辺に-1を掛けて向き逆転)
       ↓
  D を計算
  ↙    ↓    ↘
D>0   D=0   D<0
  ↓     ↓     ↓
根α,β  重解α  解なし
  ↓     ↓     ↓
x<α   全域   全域
x>β  (xはα除く)

$D$	$a>0$ で $>0$ の解	$a>0$ で $<0$ の解
$D>0$	$x<\alpha$ or $x>\beta$	$\alpha < x < \beta$
$D=0$	$x \neq \alpha$ （全域）	解なし
$D<0$	全実数	解なし

インタラクティブ：放物線と2次不等式

マウスのX座標で係数 $a$ を変えながら、 $ax^2 - 4x + 3 > 0$ の解がどう変わるか確認しましょう。緑に塗られた部分が「 $y > 0$ 、つまり $x$ 軸より上」の領域です。

ax²-4x+3>0 の解の変化：マウスで a を変えると放物線の形と解が変わる

function loop() {
ctx.clearRect(0, 0, W, H);

var a = -3 + (mx / W) * 6;
if (Math.abs(a) < 0.1) a = 0.1;
var b = -4, c = 3;
var D = b*b - 4*a*c;

var cx = W/2, cy = 200;
var scaleX = 55, scaleY = 14;

// Grid
ctx.strokeStyle = '#1a2036'; ctx.lineWidth = 1;
for (var gx = -5; gx <= 5; gx++) {
  ctx.beginPath(); ctx.moveTo(cx+gx*scaleX,0); ctx.lineTo(cx+gx*scaleX,H); ctx.stroke();
}

// Axes
ctx.strokeStyle = '#334155'; ctx.lineWidth = 1.5;
ctx.beginPath(); ctx.moveTo(0,cy); ctx.lineTo(W,cy); ctx.stroke();
ctx.beginPath(); ctx.moveTo(cx,0); ctx.lineTo(cx,H); ctx.stroke();

ctx.fillStyle = '#475569'; ctx.font='11px monospace'; ctx.textAlign='center';
for (var n=-5; n<=5; n++) { if(n===0)continue; ctx.fillText(n, cx+n*scaleX, cy+14); }

// Shade regions where ax²-4x+3 > 0
var shade = [];
if (D > 0.001) {
  var r1 = (-b - Math.sqrt(D))/(2*a);
  var r2 = (-b + Math.sqrt(D))/(2*a);
  var alpha = Math.min(r1,r2), beta = Math.max(r1,r2);
  if (a > 0) {
    shade.push({from: -10, to: alpha});
    shade.push({from: beta, to: 10});
  } else {
    shade.push({from: alpha, to: beta});
  }
} else if (D < -0.001) {
  if (a > 0) shade.push({from: -10, to: 10});
  // a<0: no solution
} else {
  // D=0
  if (a > 0) shade.push({from: -10, to: 10});
}

for (var si = 0; si < shade.length; si++) {
  var sx0 = Math.max(0, cx + shade[si].from * scaleX);
  var sx1 = Math.min(W, cx + shade[si].to * scaleX);
  ctx.fillStyle = '#22c55e';
  ctx.globalAlpha = 0.18;
  ctx.fillRect(sx0, 0, sx1-sx0, H);
  ctx.globalAlpha = 1;
}

// Parabola
var curveColor = a > 0 ? '#3b82f6' : '#ef4444';
ctx.strokeStyle = curveColor; ctx.lineWidth = 2.5;
ctx.beginPath();
var started = false;
for (var px = 0; px <= W; px += 2) {
  var xv = (px-cx)/scaleX;
  var yv = a*xv*xv + b*xv + c;
  var py = cy - yv * scaleY;
  if (py < -100 || py > H+100) { started=false; continue; }
  if (!started) { ctx.moveTo(px,py); started=true; } else ctx.lineTo(px,py);
}
ctx.stroke();

// Roots
if (D >= 0) {
  var sqD = Math.sqrt(Math.max(0,D));
  var roots = [(-b-sqD)/(2*a), (-b+sqD)/(2*a)];
  for (var ri=0; ri<roots.length; ri++) {
    ctx.fillStyle = '#fbbf24';
    ctx.beginPath();
    ctx.arc(cx+roots[ri]*scaleX, cy, 7, 0, Math.PI*2);
    ctx.fill();
  }
}

// Info
ctx.fillStyle = '#0f172a'; ctx.fillRect(8, 8, 280, 90);
ctx.strokeStyle = '#334155'; ctx.lineWidth=1; ctx.strokeRect(8,8,280,90);
ctx.font='12px monospace'; ctx.textAlign='left';
ctx.fillStyle = '#e2e8f0';
ctx.fillText('f(x) = ' + a.toFixed(2) + 'x² - 4x + 3', 18, 28);
ctx.fillStyle = D > 0 ? '#22c55e' : D < 0 ? '#ef4444' : '#fbbf24';
ctx.fillText('D = ' + D.toFixed(2) + (D>0?' (2解)':D<0?' (解なし)':' (重解)'), 18, 48);
ctx.fillStyle = '#94a3b8';
ctx.fillText('a = ' + a.toFixed(2) + (a>0?' (上向き)':' (下向き)'), 18, 68);
ctx.fillStyle = '#86efac';
ctx.fillText('緑網掛け = f(x) > 0 の領域', 18, 88);

requestAnimationFrame(loop);
}
loop();

具体的な計算例

例1： $x^2 - 5x + 6 > 0$

$(x-2)(x-3) > 0$ → 解： $x < 2$ または $x > 3$ ——「山の外側」

例2： $-2x^2 + 6x - 4 \leq 0$

両辺 $-2$ で割る（不等号逆転）： $x^2 - 3x + 2 \geq 0$

$(x-1)(x-2) \geq 0$ → 解： $x \leq 1$ または $x \geq 2$

例3： $x^2 + 2x + 5 > 0$

$D = 4 - 20 = -16 < 0$ 、 $a = 1 > 0$ → すべての実数 が解——「放物線全体がx軸より上なので、どこでもプラス」

例4： $x^2 - 2x + 1 \geq 0$

$(x-1)^2 \geq 0$ → すべての実数（ $= 0$ のとき $x = 1$ ）——「2乗は必ず0以上」

2次不等式を使う例：条件の範囲

ある数 $x$ について「 $x^2 < 4x - 3$ 」が成り立つ $x$ の範囲を求めよ。

x² - 4x + 3 < 0
(x-1)(x-3) < 0
1 < x < 3

2次不等式の解の領域確認：数直線上にプロット。マウスで解の範囲を変化させる

function loop() {
ctx.clearRect(0, 0, W, H);

// x²+bx+c < 0 interactive
var b = -8 + (mx/W)*16;
var a = 1, c = 6;
var D = b*b - 4*a*c;

ctx.fillStyle='#94a3b8'; ctx.font='14px monospace'; ctx.textAlign='center';
ctx.fillText('x² + (' + b.toFixed(1) + ')x + 6 < 0 の解', W/2, 26);

var ny = 120, nx0=60, nx1=W-60, nrange=16, nscale=(nx1-nx0)/nrange, ncx=(nx0+nx1)/2;

ctx.strokeStyle='#475569'; ctx.lineWidth=2;
ctx.beginPath(); ctx.moveTo(nx0,ny); ctx.lineTo(nx1,ny); ctx.stroke();
for (var tick=-8; tick<=8; tick++) {
  var tx=ncx+tick*nscale;
  ctx.beginPath(); ctx.moveTo(tx,ny-5); ctx.lineTo(tx,ny+5); ctx.stroke();
  ctx.fillStyle='#64748b'; ctx.font='10px monospace'; ctx.textAlign='center';
  ctx.fillText(tick, tx, ny+18);
}

if (D > 0) {
  var sqD = Math.sqrt(D);
  var alpha = (-b-sqD)/2, beta = (-b+sqD)/2;
  var ax = Math.max(nx0, ncx+alpha*nscale), bx2 = Math.min(nx1, ncx+beta*nscale);
  ctx.fillStyle='#3b82f6'; ctx.globalAlpha=0.45;
  ctx.fillRect(ax, ny-10, bx2-ax, 20);
  ctx.globalAlpha=1;
  ctx.fillStyle='#fbbf24';
  ctx.beginPath(); ctx.arc(ax, ny, 6,0,Math.PI*2); ctx.stroke();
  ctx.beginPath(); ctx.arc(bx2, ny, 6,0,Math.PI*2); ctx.stroke();
  ctx.fillStyle='#93c5fd'; ctx.font='13px monospace'; ctx.textAlign='center';
  ctx.fillText('解：' + alpha.toFixed(2) + ' < x < ' + beta.toFixed(2), W/2, 170);
  ctx.fillText('α = ' + alpha.toFixed(2) + '  β = ' + beta.toFixed(2), W/2, 190);
} else if (Math.abs(D) < 0.01) {
  ctx.fillStyle='#fbbf24'; ctx.font='13px monospace'; ctx.textAlign='center';
  ctx.fillText('D = 0 → 重解（解なし：x²+bx+c ≥ 0）', W/2, 170);
} else {
  ctx.fillStyle='#ef4444'; ctx.font='13px monospace'; ctx.textAlign='center';
  ctx.fillText('D < 0 → 解なし（放物線が x 軸と交わらない）', W/2, 170);
}

ctx.fillStyle='#64748b'; ctx.font='12px monospace'; ctx.textAlign='center';
ctx.fillText('D = ' + D.toFixed(2) + '  マウスで b を変える', W/2, 220);

requestAnimationFrame(loop);
}
loop();

まとめ

2次不等式の解法はグラフの形を把握することから始まる——「谷形か山形か」を先に確認
$a > 0$ （上向き放物線）と $a < 0$ （下向き放物線）で解の形が逆——「谷形と山形では上・下が逆」
判別式 $D$ が正・ゼロ・負で解の形が異なる
$D < 0, a > 0$ のとき、 $ax^2+bx+c>0$ の解は全実数——「放物線が全部x軸より上」
$D < 0, a > 0$ のとき、 $ax^2+bx+c<0$ の解はなし——「x軸より下の部分がない」

次回は絶対値を含む方程式と不等式を学びます。「距離」としての絶対値という解釈が問題を解くカギになります。

2次不等式とは

a>0a > 0a>0 の場合（上に開く放物線）

ケース1：D>0D > 0D>0（xxx 軸と2点で交わる）

ケース2：D=0D = 0D=0（xxx 軸に接する、重解 α\alphaα）

ケース3：D<0D < 0D<0（xxx 軸と交わらない）

a<0a < 0a<0 の場合（下に開く放物線）