複素数とは何か

なぜ複素数が必要なのか

「 $x^2 = -1$ となる数は存在するか？」——普通の数（実数）の世界では「どんな数を2乗しても必ず0以上になる」ので、答えは「存在しない」です。

$x^2 + 1 = 0$ を解こうとすると $x^2 = -1$ となります。負の数の平方根は実数には存在しません。そこで数学者たちは「存在すると仮定する」という大胆な発想を採用しました。

「ないなら作ってしまえ」——これが数学の拡張の歴史です。自然数に0とマイナスを加えて整数に、整数に分数を加えて有理数に、有理数に $\sqrt{2}$ などを加えて実数に——そして実数に $\sqrt{-1}$ を加えて複素数になります。

$i^2 = -1$

この $i$ を虚数単位と言います。 $i = \sqrt{-1}$ とも書きますが、厳密には「 $i^2 = -1$ を満たす数」と定義されます。

i¹ = i
i² = -1
i³ = -i
i⁴ = 1  ← 周期4で繰り返す
i⁵ = i  ← また i に戻る

複素数の形

複素数とは $a + bi$ の形の数です（ $a, b$ は実数）。「実数部分」と「虚数部分」が合体した数です。

$a$ ：実部 (real part) → $\text{Re}(z)$
$b$ ：虚部 (imaginary part) → $\text{Im}(z)$

複素数	実部	虚部
$3 + 2i$	3	2
$-1 - i$	-1	-1
$5$	5	0
$4i$	0	4

すべての実数は複素数の特別な場合です。数の世界が次のように広がっています：

自然数 ⊂ 整数 ⊂ 有理数 ⊂ 実数 ⊂ 複素数

複素数平面（ガウス平面）

「 $3 + 2i$ という数を見せて」と言われても、普通の数直線（1次元）では見せられません。実部と虚部の2つの成分があるので、2次元の平面が必要です。

複素数 $z = a + bi$ を、横軸（実軸） $a$ 、縦軸（虚軸） $b$ の平面上の点として描けます。これを複素数平面またはガウス平面と言います。

下のデモでマウスを動かすと、複素数 $z$ が変わり、絶対値 $|z|$ と偏角 $\arg(z)$ がリアルタイムで表示されます。

複素数平面：マウスを動かして複素数の位置を変え、|z| と arg(z) を確認しよう

function loop() {
ctx.clearRect(0, 0, W, H);

var cx = W / 2, cy = H / 2;
var scale = 60;

// Grid
ctx.strokeStyle = '#1e293b';
ctx.lineWidth = 1;
for (var gx = -4; gx <= 4; gx++) {
  ctx.beginPath();
  ctx.moveTo(cx + gx * scale, 0);
  ctx.lineTo(cx + gx * scale, H);
  ctx.stroke();
}
for (var gy = -3; gy <= 3; gy++) {
  ctx.beginPath();
  ctx.moveTo(0, cy + gy * scale);
  ctx.lineTo(W, cy + gy * scale);
  ctx.stroke();
}

// Axes
ctx.strokeStyle = '#475569';
ctx.lineWidth = 1.5;
ctx.beginPath(); ctx.moveTo(0, cy); ctx.lineTo(W, cy); ctx.stroke();
ctx.beginPath(); ctx.moveTo(cx, 0); ctx.lineTo(cx, H); ctx.stroke();

// Axis labels
ctx.fillStyle = '#64748b';
ctx.font = '12px monospace';
ctx.textAlign = 'center';
ctx.fillText('実軸 (Re)', W - 30, cy - 8);
ctx.textAlign = 'left';
ctx.fillText('虚軸 (Im)', cx + 6, 14);

for (var n = -4; n <= 4; n++) {
  if (n === 0) continue;
  ctx.fillStyle = '#475569';
  ctx.font = '11px monospace';
  ctx.textAlign = 'center';
  ctx.fillText(n, cx + n * scale, cy + 14);
  ctx.fillText(n + 'i', cx + 6, cy - n * scale + 4);
}
ctx.fillText('O', cx - 12, cy + 14);

// Complex number z from mouse
var a = (mx - cx) / scale;
var b = -(my - cy) / scale;
var px = cx + a * scale;
var py = cy - b * scale;
var modz = Math.sqrt(a*a + b*b);
var argz = Math.atan2(b, a) * 180 / Math.PI;

// Angle arc
if (modz > 0.2) {
  ctx.strokeStyle = '#fbbf24';
  ctx.lineWidth = 1.5;
  ctx.beginPath();
  ctx.arc(cx, cy, 30, -Math.atan2(b, a), 0, b >= 0);
  ctx.stroke();
  var midAngle = Math.atan2(b, a) / 2;
  ctx.fillStyle = '#fbbf24';
  ctx.font = '11px monospace';
  ctx.textAlign = 'center';
  ctx.fillText('θ', cx + 40 * Math.cos(midAngle), cy - 40 * Math.sin(midAngle));
}

// Line from origin to z
ctx.strokeStyle = '#3b82f6';
ctx.lineWidth = 2;
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(cx, cy);
ctx.lineTo(px, py);
ctx.stroke();

// Dashed projections
ctx.strokeStyle = '#475569';
ctx.lineWidth = 1;
ctx.setLineDash([4, 4]);
ctx.beginPath(); ctx.moveTo(px, py); ctx.lineTo(px, cy); ctx.stroke();
ctx.beginPath(); ctx.moveTo(px, py); ctx.lineTo(cx, py); ctx.stroke();
ctx.setLineDash([]);

// Point z
ctx.fillStyle = '#3b82f6';
ctx.beginPath();
ctx.arc(px, py, 7, 0, Math.PI * 2);
ctx.fill();
ctx.strokeStyle = '#93c5fd';
ctx.lineWidth = 2;
ctx.stroke();

// Label z
ctx.fillStyle = '#e2e8f0';
ctx.font = 'bold 13px monospace';
ctx.textAlign = px > cx ? 'left' : 'right';
var bSign = b >= 0 ? '+' : '-';
ctx.fillText('z = ' + a.toFixed(1) + ' ' + bSign + ' ' + Math.abs(b).toFixed(1) + 'i', px + (px>cx?10:-10), py - 10);

// Info panel
ctx.fillStyle = '#0f172a';
ctx.fillRect(10, 10, 200, 80);
ctx.strokeStyle = '#334155';
ctx.lineWidth = 1;
ctx.strokeRect(10, 10, 200, 80);

ctx.fillStyle = '#e2e8f0';
ctx.font = '13px monospace';
ctx.textAlign = 'left';
ctx.fillText('Re(z) = ' + a.toFixed(2), 20, 32);
ctx.fillText('Im(z) = ' + b.toFixed(2), 20, 50);
ctx.fillStyle = '#fbbf24';
ctx.fillText('|z| = ' + modz.toFixed(3), 20, 68);
ctx.fillStyle = '#22c55e';
ctx.fillText('arg(z) = ' + argz.toFixed(1) + '°', 20, 86);

requestAnimationFrame(loop);
}
loop();

絶対値と偏角

複素数 $z = a + bi$ について：

絶対値（モジュラス）：原点からの距離——ピタゴラスの定理そのままです。

|z| = √(a² + b²)

偏角（アーギュメント）：実軸からの角度——「どの方向を向いているか」

arg(z) = θ  (tan θ = b/a)

$z = 3 + 4i$ の場合：「3, 4, 5の直角三角形」なのでパッとわかります。

$|z| = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

$\arg(z) = \arctan(4/3) \approx 53.1°$

複素共役

$z = a + bi$ の共役複素数は $\bar{z} = a - bi$ です——「虚部の符号だけを変えた数」です。

複素平面上では実軸に関して対称な点になります。「鏡に映したような位置」と覚えると直感的です。

重要な性質：

z + z̄ = 2a      (実部の2倍)
z · z̄ = a² + b² = |z|²
z = z̄ ⟺ z は実数

共役を使うと有理化と同様の操作ができます。「分母に複素数があるとき、共役を掛けて実数にする」——前回の有理化と同じ発想です：

$\dfrac{1}{a + bi} = \dfrac{a - bi}{(a+bi)(a-bi)} = \dfrac{a - bi}{a^2 + b^2}$

複素共役の可視化

複素数 z とその共役 z̄：実軸に関して対称。マウスで z の位置を変える

function loop() {
ctx.clearRect(0, 0, W, H);

var cx = W/2, cy = H/2;
var scale = 55;

// axes
ctx.strokeStyle = '#334155';
ctx.lineWidth = 1.5;
ctx.beginPath(); ctx.moveTo(0, cy); ctx.lineTo(W, cy); ctx.stroke();
ctx.beginPath(); ctx.moveTo(cx, 0); ctx.lineTo(cx, H); ctx.stroke();

ctx.fillStyle = '#475569';
ctx.font = '12px monospace';
ctx.textAlign = 'center';
ctx.fillText('実軸', W-20, cy-8);
ctx.textAlign = 'left';
ctx.fillText('虚軸', cx+6, 14);

var a = (mx - cx) / scale;
var b = -(my - cy) / scale;

var zx = cx + a * scale;
var zy = cy - b * scale;
var conjx = cx + a * scale;
var conjy = cy + b * scale;

// Line to z
ctx.strokeStyle = '#3b82f6';
ctx.lineWidth = 2;
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(cx, cy);
ctx.lineTo(zx, zy);
ctx.stroke();

// Line to conjugate
ctx.strokeStyle = '#ef4444';
ctx.lineWidth = 2;
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(cx, cy);
ctx.lineTo(conjx, conjy);
ctx.stroke();

// Symmetry dashed line
ctx.strokeStyle = '#fbbf24';
ctx.lineWidth = 1;
ctx.setLineDash([5, 5]);
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(zx, zy);
ctx.lineTo(conjx, conjy);
ctx.stroke();
ctx.setLineDash([]);

// Points
ctx.fillStyle = '#3b82f6';
ctx.beginPath(); ctx.arc(zx, zy, 7, 0, Math.PI*2); ctx.fill();
ctx.fillStyle = '#ef4444';
ctx.beginPath(); ctx.arc(conjx, conjy, 7, 0, Math.PI*2); ctx.fill();

// Labels
ctx.font = 'bold 13px monospace';
ctx.fillStyle = '#93c5fd';
ctx.textAlign = a >= 0 ? 'left' : 'right';
var sign = b >= 0 ? '+' : '-';
ctx.fillText('z = ' + a.toFixed(1) + ' ' + sign + ' ' + Math.abs(b).toFixed(1) + 'i', zx+(a>=0?10:-10), zy-8);
ctx.fillStyle = '#fca5a5';
sign = b >= 0 ? '-' : '+';
ctx.fillText('z̄ = ' + a.toFixed(1) + ' ' + sign + ' ' + Math.abs(b).toFixed(1) + 'i', conjx+(a>=0?10:-10), conjy+18);

ctx.fillStyle = '#fbbf24';
ctx.font = '12px monospace';
ctx.textAlign = 'center';
ctx.fillText('z · z̄ = |z|² = ' + (a*a+b*b).toFixed(2), W/2, 285);

requestAnimationFrame(loop);
}
loop();

極形式の予告

複素数は直交座標形式 $a + bi$ だけでなく、極形式 $r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$ でも表せます。

$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$

ここで $r = |z|$ （原点からの距離）、 $\theta = \arg(z)$ （向きの角度）。この表現は次回の「複素数の四則演算」で威力を発揮します。特に乗算が回転と拡大縮小として理解できるようになります。

まとめ

$i^2 = -1$ を定義することで複素数 $z = a + bi$ が誕生——「ない数を作る」という数学の拡張の歴史
複素数平面（ガウス平面）では $z$ を座標点として視覚化できる——実部が横、虚部が縦
絶対値 $|z| = \sqrt{a^2+b^2}$ （原点からの距離——ピタゴラスの定理）
偏角 $\arg(z) = \theta$ （実軸からの角度——どの方向を向いているか）
共役 $\bar{z} = a - bi$ （実軸に対称）、 $z\bar{z} = |z|^2$ ——「鏡に映した数」

次回は複素数の四則演算を学びます。特に乗算が回転と拡大縮小に相当するという、幾何学的に美しい性質を探ります。