数学

#11 ふれてみよう高校数学代数と式の操作

不等式の基本

不等式とは

「月収が30万円以上でないとローンは組めない」「体重が60kg未満なら健康体重の範囲内」——日常生活には「等しい」ではなく「大きい・小さい」という関係があふれています。これを数式で表すのが不等式です。

不等式は「等しくない」関係を表す式です。

x + 3 > 5      (xは5-3=2より大きい)
2x - 1 ≤ 7    (xは4以下)
-x < 2         (xは-2より大きい ← 注意！)

方程式との最大の違いは：

負の数で両辺を割る（または掛ける）と、不等号の向きが逆になる

不等号の種類

記号	意味	数直線での表し
$x > a$	$a$ より大きい	$a$ を含まない右側
$x \geq a$	$a$ 以上	$a$ を含む右側
$x < a$	$a$ より小さい	$a$ を含まない左側
$x \leq a$	$a$ 以下	$a$ を含む左側

数直線では「含む」を●（塗りつぶし）、「含まない」を○（空き）で表します——「その境界の点が解に入るかどうか」を一目でわかるように表現する工夫です。

1次不等式の解き方

基本的には方程式と同じ手順ですが、「負の数での除算・乗算で不等号が逆転する」ことに注意します。

例1： $2x + 3 > 7$

2x > 7 - 3    ← 移項
2x > 4
x > 2         ← 2 (正) で割るので向き変わらず

解集合： $\{x \mid x > 2\}$ 、区間表記： $(2, \infty)$

例2： $-3x + 6 \leq 0$

-3x ≤ -6
x ≥ 2         ← -3 (負) で割るので ≤ が ≥ に逆転！

解集合： $\{x \mid x \geq 2\}$ 、区間表記： $[2, \infty)$

なぜ逆転するのか

「 $3 > 1$ は正しい。両辺を $-1$ で割ると $-3 > -1$ ？」——これは誤り。正しくは $-3 < -1$ 。

想像してみてください——数直線上で「正の数を掛けると距離が伸びる（向き変わらず）」「負の数を掛けると鏡に映したように左右反転する」。数を2倍にしてもデカい方がデカいままですが、マイナスにすると「大きい数」が「より小さい位置（より左）」に来てしまいます。

不等式の性質まとめ

① a < b  かつ  b < c  →  a < c      (推移律)
② a < b  →  a+c < b+c               (両辺に同数加算)
③ a < b  かつ  c > 0  →  ac < bc    (正の数で乗算：向き同じ)
④ a < b  かつ  c < 0  →  ac > bc    (負の数で乗算：向き逆転)
⑤ 0 < a < b  →  a² < b²,  √a < √b  (正の数の単調性)

連立不等式

「身長が150cm以上かつ180cm以下」——2つの条件を同時に満たす範囲を求めるのが連立不等式です。

例： $2x - 1 < 5$ かつ $3x + 2 > -1$

2x - 1 < 5   →  x < 3
3x + 2 > -1  →  x > -1

両方を満たす： $-1 < x < 3$

数直線： $-1$ と $3$ の間（両端を除く）——「2つの条件の重なり部分（共通部分）」を探すイメージです。

1次不等式の数直線可視化：マウスで a の値を変えると ax+b < c の解が変わる

function loop() {
ctx.clearRect(0, 0, W, H);

var a = -3 + Math.round((mx / W) * 6);  // a from -3 to 3
if (a === 0) a = 1;
var b = 1, c = 7;
// solve: ax + b < c  →  ax < c-b  →  x < (c-b)/a or x > (c-b)/a

var rhs = c - b;
var boundary = rhs / a;
var lessThan = a > 0;  // if a>0, x < boundary; if a<0, reversed

ctx.fillStyle = '#94a3b8';
ctx.font = '15px monospace';
ctx.textAlign = 'center';
ctx.fillText('不等式：' + a + 'x + ' + b + ' < ' + c + ' を解く', W/2, 28);

ctx.fillStyle = '#e2e8f0';
ctx.font = '14px monospace';
ctx.fillText(a + 'x < ' + rhs, W/2, 56);
if (a > 0) {
  ctx.fillText('x < ' + boundary.toFixed(2) + '  (正の数 ' + a + ' で割る → 向き変わらず)', W/2, 80);
} else {
  ctx.fillText('x > ' + boundary.toFixed(2) + '  (負の数 ' + a + ' で割る → 向き逆転！)', W/2, 80);
  ctx.fillStyle = '#ef4444';
  ctx.font = '13px monospace';
  ctx.fillText('← ここが要注意！', W/2, 98);
}

// Number line
var ny = 160;
var nx0 = 60, nx1 = W - 60;
var nrange = 12;
var nscale = (nx1 - nx0) / nrange;
var ncx = (nx0 + nx1) / 2;

ctx.strokeStyle = '#475569'; ctx.lineWidth = 2;
ctx.beginPath(); ctx.moveTo(nx0, ny); ctx.lineTo(nx1, ny); ctx.stroke();

// Ticks
for (var tick = -6; tick <= 6; tick++) {
  var tx = ncx + tick * nscale;
  ctx.beginPath(); ctx.moveTo(tx, ny-6); ctx.lineTo(tx, ny+6); ctx.stroke();
  ctx.fillStyle = '#64748b'; ctx.font = '11px monospace'; ctx.textAlign = 'center';
  ctx.fillText(tick, tx, ny + 18);
}

// Solution region
var bx = ncx + boundary * nscale;
bx = Math.max(nx0, Math.min(nx1, bx));

ctx.fillStyle = '#3b82f6';
ctx.globalAlpha = 0.35;
if (lessThan) {
  ctx.fillRect(nx0, ny - 10, bx - nx0, 20);
} else {
  ctx.fillRect(bx, ny - 10, nx1 - bx, 20);
}
ctx.globalAlpha = 1;

// Boundary point
ctx.strokeStyle = '#fbbf24'; ctx.lineWidth = 2.5;
ctx.beginPath();
ctx.arc(bx, ny, 7, 0, Math.PI*2);
ctx.stroke();
ctx.fillStyle = '#0d1117';
ctx.beginPath();
ctx.arc(bx, ny, 7, 0, Math.PI*2);
ctx.fill();
ctx.strokeStyle = '#fbbf24'; ctx.lineWidth = 2.5;
ctx.stroke();

ctx.fillStyle = '#fbbf24'; ctx.font = 'bold 13px monospace'; ctx.textAlign = 'center';
ctx.fillText(boundary.toFixed(2), bx, ny - 18);

ctx.fillStyle = '#93c5fd'; ctx.font = '13px monospace';
ctx.fillText(lessThan ? ('x < ' + boundary.toFixed(2)) : ('x > ' + boundary.toFixed(2)), W/2, 230);
ctx.fillStyle = '#64748b'; ctx.font = '12px monospace';
ctx.fillText('マウスで a を変える（現在 a = ' + a + '）', W/2, 250);

requestAnimationFrame(loop);
}
loop();

文字係数の不等式

$ax > b$ のような式では $a$ の符号によって場合分けが必要です——「 $a$ の符号がわからないと、解の向きが決まらない」からです。

$ax > b \implies \begin{cases} x > \dfrac{b}{a} & (a > 0) \\ x < \dfrac{b}{a} & (a < 0) \\ \text{解なし（}b > 0\text{のとき）} & (a = 0) \end{cases}$

これが不等式の問題で「場合分け」が頻出する理由です。

絶対値と不等式の基礎

$|x - a| < r$ は「 $x$ と $a$ の距離が $r$ 未満」を意味します——「 $a$ を中心に半径 $r$ の範囲内」という直感的なイメージです：

|x - a| < r  ⟺  a - r < x < a + r
|x - a| > r  ⟺  x < a-r  または  x > a+r

例： $|x - 3| < 2$

$-2 < x - 3 < 2$ → $1 < x < 5$ ——「3から距離が2以内」なので1から5の間です。

これは第13回でさらに詳しく扱います。

連立不等式の解集合：マウスで上限を変える。2つの条件の共通部分を可視化

function loop() {
ctx.clearRect(0, 0, W, H);

var upper = -3 + (mx / W) * 10;  // upper bound from -3 to 7
var lower = -1;

ctx.fillStyle = '#94a3b8'; ctx.font = '15px monospace'; ctx.textAlign = 'center';
ctx.fillText('連立不等式：x > ' + lower.toFixed(1) + '  かつ  x < ' + upper.toFixed(2), W/2, 28);

var ny = 120;
var nx0 = 60, nx1 = W - 60;
var nrange = 12, nscale = (nx1-nx0)/nrange;
var ncx = (nx0+nx1)/2;

ctx.strokeStyle = '#475569'; ctx.lineWidth = 2;
ctx.beginPath(); ctx.moveTo(nx0, ny); ctx.lineTo(nx1, ny); ctx.stroke();
for (var tick = -6; tick <= 6; tick++) {
  var tx = ncx + tick * nscale;
  ctx.beginPath(); ctx.moveTo(tx,ny-5); ctx.lineTo(tx,ny+5); ctx.stroke();
  ctx.fillStyle = '#64748b'; ctx.font='11px monospace'; ctx.textAlign='center';
  ctx.fillText(tick, tx, ny+18);
}

// Condition 1: x > lower (blue)
var lx = Math.max(nx0, ncx + lower*nscale);
ctx.fillStyle = '#3b82f6'; ctx.globalAlpha = 0.3;
ctx.fillRect(lx, ny-16, nx1-lx, 12);
ctx.globalAlpha = 1;

// Condition 2: x < upper (green)
var ux = Math.min(nx1, ncx + upper*nscale);
ctx.fillStyle = '#22c55e'; ctx.globalAlpha = 0.3;
ctx.fillRect(nx0, ny+4, ux-nx0, 12);
ctx.globalAlpha = 1;

// Intersection
if (upper > lower) {
  ctx.fillStyle = '#f59e0b'; ctx.globalAlpha = 0.7;
  ctx.fillRect(lx, ny-4, ux-lx, 8);
  ctx.globalAlpha = 1;
  ctx.fillStyle = '#fbbf24'; ctx.font='13px monospace'; ctx.textAlign='center';
  ctx.fillText('共通部分：' + lower.toFixed(1) + ' < x < ' + upper.toFixed(2), W/2, 175);
} else {
  ctx.fillStyle = '#ef4444'; ctx.font='13px monospace'; ctx.textAlign='center';
  ctx.fillText('共通部分なし（解なし）', W/2, 175);
}

// Boundary points
ctx.strokeStyle = '#3b82f6'; ctx.lineWidth = 2;
ctx.beginPath(); ctx.arc(lx, ny, 5, 0, Math.PI*2); ctx.stroke();
ctx.fillStyle = '#0d1117'; ctx.beginPath(); ctx.arc(lx, ny, 5, 0, Math.PI*2); ctx.fill();
ctx.strokeStyle = '#3b82f6'; ctx.stroke();

ctx.strokeStyle = '#22c55e'; ctx.lineWidth = 2;
ctx.beginPath(); ctx.arc(ux, ny, 5, 0, Math.PI*2); ctx.stroke();
ctx.fillStyle = '#0d1117'; ctx.beginPath(); ctx.arc(ux, ny, 5, 0, Math.PI*2); ctx.fill();
ctx.strokeStyle = '#22c55e'; ctx.stroke();

ctx.fillStyle = '#93c5fd'; ctx.font='12px monospace'; ctx.textAlign='left';
ctx.fillText('青: x > ' + lower, 60, 210);
ctx.fillStyle = '#86efac';
ctx.fillText('緑: x < ' + upper.toFixed(2), 60, 228);
ctx.fillStyle = '#fbbf24';
ctx.fillText('橙: 共通部分', 220, 210);
ctx.fillStyle = '#64748b'; ctx.textAlign='right';
ctx.fillText('マウスで上限を変える', W-20, 228);

requestAnimationFrame(loop);
}
loop();

まとめ

不等式は方程式とほぼ同じ手順で解く——「移項して整理する」手順は同じ
負の数で割る（掛ける）と不等号が逆向きになる——「数直線上で左右が反転する」から
解は数直線上の区間として表す（端点を含むか否かに注意）——「●か○か」が大事
連立不等式は各不等式の解集合の共通部分——「両方の条件を同時に満たす範囲」
文字係数がある場合は符号で場合分けが必要——「 $a$ がプラスかマイナスかで答えが変わる」

次回は2次不等式を扱います。放物線の形と「上か下か」の判断が鍵です。