#08 ふれてみよう高校数学 代数と式の操作
方程式の基本
方程式とは何か
「ある数を2倍して3を足すと11になる。元の数は？」——こういう問いに答えるための道具が方程式です。
方程式とは「特定の値のときだけ成り立つ等式」です。
2x + 3 = 11 → x = 4 のとき成立
x² = 9 → x = 3 または x = -3 のとき成立方程式を解くとは、等式を成り立たせる未知数の値（解）を求めることです。
方程式の「黄金ルール」は1つだけ：
両辺に同じ操作を施しても等式は保たれる
想像してみてください——天秤で左右の重さが釣り合っているとき（等式が成立しているとき）、両側に同じ重さを足しても、同じだけ引いても、同じ数で割っても、天秤は釣り合ったままです。この「天秤の原理」が方程式を解くすべての操作の根拠です。
1次方程式の解き方
基本手順
- 括弧を展開する
- 文字の項を一方に、数字の項を他方に移項する
- 係数で割る
例：
3x - 6 = 2x + 1 ← 展開
3x - 2x = 1 + 6 ← 移項（符号が変わることに注意）
x = 7 ← 解検算：、 ✓——「答えを元の式に代入して確認する」習慣が大切です。
例：係数に分数がある場合
「分数があって面倒」と感じたら、両辺に分母の最小公倍数を掛けると分数が消えます。
LCD = 6 を両辺に掛ける：
3(x-1) + 2(x+3) = 12
3x - 3 + 2x + 6 = 12
5x + 3 = 12
5x = 9
x = 9/5 天秤モデル：2x+3=11 を解くステップ。クリックで次のステップへ
var step = 0;
var maxStep = 3;
document.querySelector('canvas').addEventListener('click', function() {
step = (step + 1) % (maxStep + 1);
});
var steps = [
{ left: '2x + 3', right: '11', note: '元の方程式：2x + 3 = 11', op: '' },
{ left: '2x + 3 - 3', right: '11 - 3', note: '両辺から 3 を引く', op: '− 3' },
{ left: '2x', right: '8', note: '整理すると 2x = 8', op: '' },
{ left: 'x', right: '4', note: '両辺を 2 で割ると x = 4 ✓', op: '÷ 2' }
];
function drawBalance(leftText, rightText, balanced) {
var cx = W / 2, base = 250;
var armLen = 160;
var tilt = balanced ? 0 : 0.08;
// Pole
ctx.strokeStyle = '#64748b';
ctx.lineWidth = 4;
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(cx, base + 20);
ctx.lineTo(cx, base - 20);
ctx.stroke();
// Triangle support
ctx.fillStyle = '#475569';
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(cx - 18, base + 22);
ctx.lineTo(cx + 18, base + 22);
ctx.lineTo(cx, base + 4);
ctx.closePath();
ctx.fill();
// Arm
ctx.strokeStyle = '#64748b';
ctx.lineWidth = 4;
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(cx - armLen, base - tilt * armLen);
ctx.lineTo(cx + armLen, base + tilt * armLen);
ctx.stroke();
// Left pan
var lx = cx - armLen, ly = base - tilt * armLen + 35;
ctx.fillStyle = '#1e3a5f';
ctx.fillRect(lx - 60, ly, 120, 10);
ctx.strokeStyle = '#3b82f6';
ctx.lineWidth = 1;
ctx.strokeRect(lx - 60, ly, 120, 10);
ctx.strokeStyle = '#475569'; ctx.lineWidth = 1;
ctx.beginPath(); ctx.moveTo(lx, base - tilt * armLen); ctx.lineTo(lx, ly); ctx.stroke();
ctx.fillStyle = '#93c5fd';
ctx.font = 'bold 14px monospace';
ctx.textAlign = 'center';
ctx.fillText(leftText, lx, ly - 10);
// Right pan
var rx = cx + armLen, ry = base + tilt * armLen + 35;
ctx.fillStyle = '#1e3a5f';
ctx.fillRect(rx - 60, ry, 120, 10);
ctx.strokeStyle = '#22c55e';
ctx.lineWidth = 1;
ctx.strokeRect(rx - 60, ry, 120, 10);
ctx.strokeStyle = '#475569'; ctx.lineWidth = 1;
ctx.beginPath(); ctx.moveTo(rx, base + tilt * armLen); ctx.lineTo(rx, ry); ctx.stroke();
ctx.fillStyle = '#86efac';
ctx.font = 'bold 14px monospace';
ctx.textAlign = 'center';
ctx.fillText(rightText, rx, ry - 10);
}
function loop() {
ctx.clearRect(0, 0, W, H);
var s = steps[step];
drawBalance(s.left, s.right, true);
ctx.fillStyle = '#fbbf24';
ctx.font = 'bold 15px monospace';
ctx.textAlign = 'center';
ctx.fillText(s.note, W/2, 42);
if (s.op) {
ctx.fillStyle = '#f59e0b';
ctx.font = '13px monospace';
ctx.fillText('操作：' + s.op, W/2, 64);
}
ctx.fillStyle = '#64748b';
ctx.font = '12px monospace';
ctx.fillText('クリックで次のステップへ (' + (step+1) + ' / ' + (maxStep+1) + ')', W/2, H - 14);
requestAnimationFrame(loop);
}
loop();連立方程式
「 と の2つの未知数がある」——1つの式だけでは解けませんが、2つの式があれば解けます。これが連立方程式です。
加減法
2つの式を足すか引くかで一方の文字を消します——「 をどちらかの式で消す」という発想です。
2x + y = 7 ①
x - y = 2 ②
① + ② : 3x = 9 → x = 3
② に代入：3 - y = 2 → y = 1代入法
一方の式を「」の形に変形して他方に代入します——「 の代わりに の式を入れる」発想です。
y = 7 - 2x (① より)
x - (7 - 2x) = 2
3x - 7 = 2
x = 3, y = 1グラフの意味
連立方程式の解は、2直線の交点です——「2本の道がどこで交わるか」を求めているのです。
| 場合 | グラフ | 解の数 |
|---|---|---|
| 2直線が交わる | 1交点 | 唯一解 |
| 2直線が平行 | 交点なし | 解なし |
| 2直線が一致 | 全体重なり | 無限に多い |
3変数の連立方程式
「変数が3つなら方程式も3つ必要」——1つずつ変数を消していくと解けます。
解法の流れ：
① ② から
① ③ から →
この2式から 、逆算で 、
連立方程式 2x+y=7, x-y=2 の解（交点）：直線のグラフを可視化
function loop() {
ctx.clearRect(0, 0, W, H);
var cx = W/2, cy = H/2;
var scale = 40;
// Grid
ctx.strokeStyle = '#1e293b';
ctx.lineWidth = 1;
for (var gx = -7; gx <= 7; gx++) {
ctx.beginPath(); ctx.moveTo(cx+gx*scale,0); ctx.lineTo(cx+gx*scale,H); ctx.stroke();
}
for (var gy = -4; gy <= 4; gy++) {
ctx.beginPath(); ctx.moveTo(0,cy+gy*scale); ctx.lineTo(W,cy+gy*scale); ctx.stroke();
}
// Axes
ctx.strokeStyle = '#334155'; ctx.lineWidth = 1.5;
ctx.beginPath(); ctx.moveTo(0,cy); ctx.lineTo(W,cy); ctx.stroke();
ctx.beginPath(); ctx.moveTo(cx,0); ctx.lineTo(cx,H); ctx.stroke();
ctx.fillStyle = '#475569'; ctx.font = '11px monospace'; ctx.textAlign = 'center';
for (var n = -6; n <= 6; n++) {
if (n === 0) continue;
ctx.fillText(n, cx + n*scale, cy + 14);
ctx.fillText(n, cx + 5, cy - n*scale + 4);
}
// Line 1: 2x + y = 7 → y = 7 - 2x
ctx.strokeStyle = '#3b82f6';
ctx.lineWidth = 2.5;
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(0, cy - (7 - 2*(0 - cx/scale)) * scale);
var x1s = (0 - cx) / scale, x1e = (W - cx) / scale;
ctx.moveTo(0, cy - (7 - 2*x1s)*scale);
ctx.lineTo(W, cy - (7 - 2*x1e)*scale);
ctx.stroke();
// Line 2: x - y = 2 → y = x - 2
ctx.strokeStyle = '#22c55e';
ctx.lineWidth = 2.5;
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(0, cy - (x1s - 2)*scale);
ctx.lineTo(W, cy - (x1e - 2)*scale);
ctx.stroke();
// Intersection at (3, 1)
var ix = cx + 3*scale, iy = cy - 1*scale;
ctx.fillStyle = '#fbbf24';
ctx.beginPath();
ctx.arc(ix, iy, 8, 0, Math.PI*2);
ctx.fill();
ctx.strokeStyle = '#fff'; ctx.lineWidth = 2; ctx.stroke();
ctx.fillStyle = '#fbbf24';
ctx.font = 'bold 14px monospace';
ctx.textAlign = 'left';
ctx.fillText('解 (3, 1)', ix + 12, iy - 8);
ctx.fillStyle = '#93c5fd'; ctx.font = '13px monospace';
ctx.textAlign = 'left';
ctx.fillText('2x + y = 7', 12, 22);
ctx.fillStyle = '#86efac';
ctx.fillText('x - y = 2', 12, 40);
requestAnimationFrame(loop);
}
loop();比例式
の形の方程式は外項の積 = 内項の積で解けます——「斜め同士を掛けると等しくなる」と覚えると便利です：
(x+1)/3 = (2x-1)/4
4(x+1) = 3(2x-1)
4x + 4 = 6x - 3
7 = 2x
x = 7/2まとめ
- 方程式の本質は「両辺に同じ操作」→ 天秤モデルで理解——「左右に同じことをする限り天秤は傾かない」
- 1次方程式：移項 → 係数で割る——「文字を左、数を右に集める」
- 係数が分数のとき：LCD を両辺に掛けて整数化——「分数を消してから解く」
- 連立方程式：加減法または代入法で文字を消去——「1つずつ未知数を減らす」
- グラフでは連立方程式の解 = 直線の交点——「2本の道がどこで交わるか」
次回はいよいよ2次方程式。因数分解・平方完成・解の公式という3つのアプローチを比較します。