数学

#02 ふれてみよう高校数学代数と式の操作

因数分解の基本

因数分解とは

想像してみてください——ケーキを焼いたあとに、もとの材料（卵・小麦粉・砂糖）に分解できたら便利ですよね。数式でも同じことができます。前回学んだ「展開」の逆操作が因数分解です。展開が「積 → 和」なら、因数分解は「和 → 積」。

展開:  (x + 2)(x + 3)  →  x² + 5x + 6
因数分解: x² + 5x + 6  →  (x + 2)(x + 3)

なぜ因数分解が重要なのか？方程式の解を求めるとき、グラフの形を読むとき、分数式を約分するときなど、代数のあらゆる場面で登場します。

ステップ1：共通因数を取り出す

最初に確認すること：すべての項に共通する因数はないか。

たとえば $6x^2 + 9x$ は、各項が「 $3x$ の何倍か」になっています。だから $3x$ でくくることができます。

6x² + 9x = 3x(2x + 3)

元の式	共通因数	因数分解後
$4x^2 + 8x$	$4x$	$4x(x + 2)$
$6a^2b - 3ab^2$	$3ab$	$3ab(2a - b)$
$x^3 - x^2 + x$	$x$	$x(x^2 - x + 1)$

共通因数を見落とすと後の因数分解が複雑になります。「まず全部に共通するものはないか？」と最初に確認する習慣をつけましょう。

ステップ2：公式による因数分解

展開の公式を逆に読むと因数分解の公式になります。「逆再生ボタン」を押すイメージです。

完全平方式

a² + 2ab + b² = (a + b)²
a² - 2ab + b² = (a - b)²

見分け方のポイント：「 $x^2$ （完全な平方）」「 $b^2$ （完全な平方）」「真ん中が $2ab$ （その2倍）」という3点セットを探しましょう。

例： $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$ （ $2ab = 6x$ → $b = 3$ ）

差の平方（平方の差）

a² - b² = (a + b)(a - b)

「2つの完全な平方が引き算になっている」形を見たら、この公式の出番です。

例： $x^2 - 25 = (x + 5)(x - 5)$

これは非常によく使います。「2つの完全平方の差」を見たら即座に反応できるようにしましょう。

ステップ3： $x^2 + px + q$ の因数分解

$x^2 + 5x + 6$ を例に考えます。これを $(x + \alpha)(x + \beta)$ の形に因数分解したいとき、FOIL法を逆に考えると：

(x + α)(x + β) = x² + (α+β)x + αβ

つまり、「積が $q$ で、和が $p$ になる 2 つの数」を探せばよいのです。

$\alpha + \beta = 5$ （ $x$ の係数）
$\alpha \times \beta = 6$ （定数項）

を満たす整数の組 $(\alpha, \beta)$ を探します。

$6$ の因数対を全て列挙：

$\alpha$	$\beta$	積 $\alpha\beta$	和 $\alpha+\beta$
1	6	6	7
2	3	6	5 ✓
-1	-6	6	-7
-2	-3	6	-5

$\alpha = 2,\ \beta = 3$ が条件を満たすので：

x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)

下のデモでは、候補の数の組を1つずつ試しながら、正解の組み合わせが光る様子を確認できます。

x²+5x+6 の因数対を探すアニメーション：正しい組み合わせが光る

var t = 0;
var pairs = [
[1, 6], [2, 3], [-1, -6], [-2, -3], [3, 2], [6, 1]
];
var current = 0;
var timer = 0;

function loop() {
ctx.clearRect(0, 0, W, H);
t++;
timer++;
if (timer > 40) { timer = 0; current = (current + 1) % pairs.length; }

ctx.fillStyle = '#94a3b8';
ctx.font = '15px monospace';
ctx.textAlign = 'center';
ctx.fillText('x² + 5x + 6 を因数分解する', W/2, 30);
ctx.fillText('α × β = 6  かつ  α + β = 5 となる整数を探す', W/2, 54);

var rowH = 32;
var startY = 80;
var cols = [W/2 - 160, W/2 - 60, W/2 + 40, W/2 + 140];

ctx.fillStyle = '#64748b';
ctx.font = '13px monospace';
ctx.fillText('α', cols[0], startY);
ctx.fillText('β', cols[1], startY);
ctx.fillText('α × β', cols[2], startY);
ctx.fillText('α + β', cols[3], startY);

for (var i = 0; i < pairs.length; i++) {
  var alpha = pairs[i][0], beta = pairs[i][1];
  var prod = alpha * beta, sum = alpha + beta;
  var y = startY + (i + 1) * rowH;
  var isCorrect = (prod === 6 && sum === 5);
  var isCurrent = (i === current);

  if (isCorrect) {
    ctx.fillStyle = isCurrent ? '#22c55e' : '#166534';
    ctx.fillRect(W/2 - 190, y - 18, 380, 26);
    ctx.fillStyle = '#ffffff';
  } else if (isCurrent) {
    ctx.fillStyle = '#1e3a5f';
    ctx.fillRect(W/2 - 190, y - 18, 380, 26);
    ctx.fillStyle = '#93c5fd';
  } else {
    ctx.fillStyle = '#94a3b8';
  }

  ctx.font = (isCorrect ? 'bold' : '') + ' 14px monospace';
  ctx.fillText(alpha, cols[0], y);
  ctx.fillText(beta, cols[1], y);
  ctx.fillText(prod, cols[2], y);
  ctx.fillText(sum + (isCorrect ? ' ← ✓' : ''), cols[3], y);
}

ctx.fillStyle = '#fbbf24';
ctx.font = 'bold 15px monospace';
ctx.fillText('答え：(x + 2)(x + 3)', W/2, 284);

requestAnimationFrame(loop);
}
loop();

ステップ4： $ax^2 + bx + c$ （たすき掛け）

$a \neq 1$ の場合は少し複雑になります。 $2x^2 + 7x + 3$ を因数分解してみましょう。

$(px + q)(rx + s)$ とおくと、展開したときに：

$pr = 2$ （ $x^2$ の係数）
$qs = 3$ （定数項）
$ps + qr = 7$ （ $x$ の係数）

という3つの条件を同時に満たす組を探します。この「斜めに掛けて足す」手順をたすき掛けと呼びます。

たすき掛けの手順：

p × s = 1 × 3 = 3
q × r = 1 × 2 = 2    → 交差和 = 3 + 2 = 5 ✗

p × s = 3 × 1 = 3
q × r = 1 × 2 = 2    → 試行継続...

2 | 1    →   2×3=6
  | 3    →   1×1=1   合計 6+1=7 ✓

答え：(2x + 1)(x + 3)

確認： $(2x + 1)(x + 3) = 2x^2 + 6x + x + 3 = 2x^2 + 7x + 3$ ✓

矩形モデルで因数分解を「見る」

$(x+2)(x+3)$ の形が長方形の面積を表すことを視覚化します。縦の長さ $(x+2)$ 、横の長さ $(x+3)$ の長方形の面積が $x^2 + 5x + 6$ です。面積を4つの部分に分けると、 $x^2$ （青）・ $3x$ （緑）・ $2x$ （紫）・ $6$ （赤）が現れます。これらを足すと $x^2 + 5x + 6$ になります。

(x+2)(x+3) の矩形モデル：x²、5x、6 の各パーツの面積

var xVal, scale, ox, oy;

function loop() {
ctx.clearRect(0, 0, W, H);

xVal = Math.max(1, Math.min(8, (mx / W) * 9));
scale = 200 / (xVal + 3);
ox = 60;
oy = 50;

var xS = xVal * scale;
var s2 = 2 * scale;
var s3 = 3 * scale;

// x² region
ctx.fillStyle = '#3b82f6';
ctx.fillRect(ox, oy, xS, xS);

// 2x region (bottom of x²)
ctx.fillStyle = '#8b5cf6';
ctx.fillRect(ox, oy + xS, xS, s2);

// 3x region (right of x²)
ctx.fillStyle = '#22c55e';
ctx.fillRect(ox + xS, oy, s3, xS);

// 6 region (bottom-right corner)
ctx.fillStyle = '#ef4444';
ctx.fillRect(ox + xS, oy + xS, s3, s2);

// labels
ctx.fillStyle = '#fff';
ctx.font = 'bold 14px monospace';
ctx.textAlign = 'center';
ctx.fillText('x²', ox + xS/2, oy + xS/2 + 5);
ctx.fillText('2x', ox + xS/2, oy + xS + s2/2 + 5);
ctx.fillText('3x', ox + xS + s3/2, oy + xS/2 + 5);
ctx.fillText('6', ox + xS + s3/2, oy + xS + s2/2 + 5);

// axis labels
ctx.fillStyle = '#fbbf24';
ctx.font = '13px monospace';
ctx.textAlign = 'center';
ctx.fillText('x', ox + xS/2, oy - 10);
ctx.fillText('3', ox + xS + s3/2, oy - 10);
ctx.textAlign = 'right';
ctx.fillText('x', ox - 8, oy + xS/2 + 5);
ctx.fillText('2', ox - 8, oy + xS + s2/2 + 5);

ctx.fillStyle = '#e2e8f0';
ctx.font = '14px monospace';
ctx.textAlign = 'left';
var area = xVal*xVal + 5*xVal + 6;
ctx.fillText('x = ' + xVal.toFixed(1), ox, 290);
ctx.fillText('面積 = x² + 5x + 6 = ' + area.toFixed(1) + ' = (x+2)(x+3)', ox, 308);

requestAnimationFrame(loop);
}
loop();

練習問題

次の式を因数分解してください。

$x^2 - 9$
$x^2 - 7x + 12$
$2x^2 + 5x + 2$
$4x^2 - 20x + 25$

解答：

$(x+3)(x-3)$ （差の平方： $9 = 3^2$ なので $(x+3)(x-3)$ ）
$(x-3)(x-4)$ （積 $=12$ 、和 $=-7$ になる数の組は $-3$ と $-4$ ）
$(2x+1)(x+2)$ （たすき掛け）
$(2x-5)^2$ （完全平方式： $4x^2 = (2x)^2$ 、 $25 = 5^2$ 、 $20x = 2 \times 2x \times 5$ ）

まとめ

まず共通因数を探して取り出す——これをやると後が楽になります
$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ の差の平方は「2つの平方の引き算」を見たら即反応
$a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$ の完全平方式：「平方＋2倍＋平方」のパターン
$x^2 + px + q$ は「積が $q$ 、和が $p$ 」になる数の組を探す
$ax^2 + bx + c$ はたすき掛けで処理

次回は因数分解の応用として、グループ分け法や3乗の和・差の公式を扱います。