式の展開と整理

式の展開とは何か

たとえば、長さ $(x+2)$ メートルと長さ $(x+3)$ メートルの2辺を持つ長方形の面積を求めたいとしましょう。面積は縦×横なので $(x+2)(x+3)$ ですが、これを「バラして計算した結果」にするのが展開です。答えは $x^2 + 5x + 6$ になります。

「展開」とは、括弧を外して式をすっきりとした形に書き直す操作です。ただ公式を暗記するのではなく、なぜそうなるのかを面積モデルで理解すると、ずっと定着しやすくなります。

FOIL法：2つの2項式の積

想像してみてください——$(a + b)(c + d)$ は「2つの和の掛け算」です。左の括弧の中の $a$ も $b$ も、右の括弧の中の $c$ と $d$ のそれぞれと掛け合わさります。これを漏れなく計算するための覚え方がFOIL法です。

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

例：$(x + 3)(x + 5) = x^2 + 5x + 3x + 15 = x^2 + 8x + 15$

「左の $x$ を右の $x$ と掛けて → 右の5と掛けて → 左の3を右の $x$ と掛けて → 右の5と掛ける」という順番で、全部で4回の掛け算をしているだけです。

重要な展開公式

高校数学で繰り返し登場する公式を整理します。

和の平方 $(a+b)^2$

「$a$ と $b$ の和」を2乗するとどうなる？ という問いです。$(a+b)^2$ は $(a+b) \times (a+b)$ を展開したものです。

(a + b)² = a² + 2ab + b²

ポイントは中央の「$2ab$」が生まれること。$a$ と $b$ の掛け算が2回分（FOILのOとI）登場するためです。

$(x + 4)^2 = x^2 + 8x + 16$

差の平方 $(a-b)^2$

「引き算バージョン」では、中央の符号が変わります。$2ab$ が $-2ab$ になる点だけが違います。

(a - b)² = a² - 2ab + b²

$(x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9$

和と差の積（差の平方）

「足した数」と「引いた数」を掛け合わせると、中間の項が消えてしまう、とても便利な公式です。

(a + b)(a - b) = a² - b²

たとえば $53 \times 47$ は暗算しにくいですが、$(50+3)(50-3) = 50^2 - 3^2 = 2500 - 9 = 2491$ とすると楽に計算できます。

$(x + 5)(x - 5) = x^2 - 25$

和の立方 $(a+b)^3$

2乗版をさらに $(a+b)$ 倍した結果です。

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

係数 $1, 3, 3, 1$ はパスカルの三角形の第3行と一致します（第14回で詳しく扱います）。

面積モデルで $(a+b)^2$ を「見る」

$(a+b)^2$ が $a^2 + 2ab + b^2$ になる理由を面積で考えてみましょう。1辺の長さが $(a+b)$ の正方形を描きます。この正方形を $a$ と $b$ で分割すると…

• 左上：$a \times a = a^2$（青）
• 右上：$a \times b = ab$（緑）
• 左下：$b \times a = ab$（緑）
• 右下：$b \times b = b^2$（赤）

合計：$a^2 + 2ab + b^2$ — これが $(a+b)^2$ の正体です。

「2つの緑色の部分（$ab$ が2個）がなぜ生まれるのか」が面積を見ると一目でわかります。下のデモで $a$ の値（マウスのX座標）を変えながら、面積の変化を確認してください。

var a, b, total, scale, ox, oy;

function loop() {
ctx.clearRect(0, 0, W, H);

total = 6;
a = Math.max(0.5, Math.min(5.5, (mx / W) * total));
b = total - a;
scale = 220 / total;
ox = 40;
oy = 40;

// a² rectangle (top-left)
ctx.fillStyle = '#3b82f6';
ctx.fillRect(ox, oy, a * scale, a * scale);

// ab rectangle (top-right)
ctx.fillStyle = '#22c55e';
ctx.fillRect(ox + a * scale, oy, b * scale, a * scale);

// ab rectangle (bottom-left)
ctx.fillStyle = '#22c55e';
ctx.fillRect(ox, oy + a * scale, a * scale, b * scale);

// b² rectangle (bottom-right)
ctx.fillStyle = '#ef4444';
ctx.fillRect(ox + a * scale, oy + a * scale, b * scale, b * scale);

// labels inside
ctx.fillStyle = '#fff';
ctx.font = 'bold 15px monospace';
ctx.textAlign = 'center';
ctx.fillText('a²', ox + a * scale / 2, oy + a * scale / 2 + 6);
ctx.fillText('ab', ox + a * scale + b * scale / 2, oy + a * scale / 2 + 6);
ctx.fillText('ab', ox + a * scale / 2, oy + a * scale + b * scale / 2 + 6);
ctx.fillText('b²', ox + a * scale + b * scale / 2, oy + a * scale + b * scale / 2 + 6);

// border
ctx.strokeStyle = '#ffffff44';
ctx.lineWidth = 1;
ctx.strokeRect(ox, oy, total * scale, total * scale);
ctx.strokeRect(ox, oy, a * scale, a * scale);
ctx.strokeRect(ox + a * scale, oy, b * scale, a * scale);
ctx.strokeRect(ox, oy + a * scale, a * scale, b * scale);

// equation display
ctx.fillStyle = '#e2e8f0';
ctx.font = '14px monospace';
ctx.textAlign = 'left';
var av = a.toFixed(1), bv = b.toFixed(1);
var a2 = (a*a).toFixed(1), ab2 = (2*a*b).toFixed(1), b2 = (b*b).toFixed(1);
var tot = ((a+b)*(a+b)).toFixed(1);
ctx.fillText('a = ' + av + ',  b = ' + bv, ox, 290);
ctx.fillText('(' + av + ' + ' + bv + ')² = ' + a2 + ' + ' + ab2 + ' + ' + b2 + ' = ' + tot, ox, 308);

requestAnimationFrame(loop);
}
loop();

展開の実践：計算例

例題1

$(2x + 3)^2$ を展開せよ。

まず「$a$ が $2x$、$b$ が $3$」と対応させます。和の平方の公式 $a^2 + 2ab + b^2$ に当てはめると：

$a = 2x,\ b = 3$ として公式を適用：

(2x + 3)² = (2x)² + 2·(2x)·3 + 3²
           = 4x² + 12x + 9

例題2

$(x + 1)^3$ を展開せよ。

$a = x,\ b = 1$ として和の立方の公式を使います：

(x + 1)³ = x³ + 3x²·1 + 3x·1² + 1³
          = x³ + 3x² + 3x + 1

例題3

$(3x - 2y)(3x + 2y)$ を展開せよ。

「足した数 × 引いた数 = 差の平方」の形です。$a = 3x,\ b = 2y$ として：

$a = 3x,\ b = 2y$ として差の平方：

(3x - 2y)(3x + 2y) = (3x)² - (2y)²
                   = 9x² - 4y²

係数比較と整理

展開した後は「同類項をまとめる」作業が必要です。$x^2$ の項はまとめて、$x$ の項はまとめて、と整理していきます。

$(x + 2)(x^2 - x + 3)$ を展開して整理：

= x·x² + x·(-x) + x·3 + 2·x² + 2·(-x) + 2·3
= x³ - x² + 3x + 2x² - 2x + 6
= x³ + x² + x + 6

$x^2$ の項：$-x^2 + 2x^2 = x^2$、$x$ の項：$3x - 2x = x$ とまとめています。

インタラクティブ確認：展開式の検証

マウスのX座標で $a$ の値を変えながら、$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ が常に成り立つことを棒グラフで確認しましょう。4つの棒の合計が常に $(a+b)^3$ と一致しているのがわかります。

var a, b, total;

function loop() {
ctx.clearRect(0, 0, W, H);

total = 5;
a = Math.max(0.3, Math.min(4.7, (mx / W) * total));
b = total - a;

var terms = [
  { label: 'a³', val: a*a*a, color: '#3b82f6' },
  { label: '3a²b', val: 3*a*a*b, color: '#8b5cf6' },
  { label: '3ab²', val: 3*a*b*b, color: '#22c55e' },
  { label: 'b³', val: b*b*b, color: '#ef4444' }
];
var maxVal = Math.pow(total, 3);
var barW = 80;
var gap = (W - 4 * barW) / 5;
var maxH = 180;

ctx.fillStyle = '#94a3b8';
ctx.font = '13px sans-serif';
ctx.textAlign = 'center';
ctx.fillText('a = ' + a.toFixed(2) + ',  b = ' + b.toFixed(2) + ',  (a+b)³ = ' + Math.pow(total,3).toFixed(1), W/2, 22);

for (var i = 0; i < terms.length; i++) {
  var x = gap + i * (barW + gap);
  var h = (terms[i].val / maxVal) * maxH;
  var y = 220 - h;
  ctx.fillStyle = terms[i].color;
  ctx.fillRect(x, y, barW, h);
  ctx.fillStyle = '#e2e8f0';
  ctx.font = 'bold 13px monospace';
  ctx.fillText(terms[i].label, x + barW / 2, y - 6);
  ctx.fillText(terms[i].val.toFixed(1), x + barW / 2, 238);
}

var sum = terms.reduce(function(s, t) { return s + t.val; }, 0);
ctx.fillStyle = '#fbbf24';
ctx.font = '13px monospace';
ctx.fillText('合計 = ' + sum.toFixed(2) + '  (a+b)³ = ' + Math.pow(total,3).toFixed(2), W/2, 262);

requestAnimationFrame(loop);
}
loop();

まとめ

• 展開とは括弧を外して多項式の標準形にする操作。「掛け算を全部バラす」作業です
• $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ は面積モデルで直感的に理解できます——正方形を4つに切り分けた面積の合計です
• $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$、$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ は頻出公式。特に $(a+b)(a-b)$ は暗算にも使えます
• $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ の係数はパスカルの三角形と対応
• 展開後は必ず同類項をまとめる（同じ $x^2$ の項同士、$x$ の項同士をまとめる）

展開の逆操作、つまり「まとまった式を積の形に戻す」のが因数分解です。次回はその基本を学びます。