数学

#15 ふれてみよう高校数学関数

関数と方程式・不等式

グラフと方程式の関係

「 $x^2 - 2 = x + 1$ を解け」——これを純粋に代数で解くこともできますが、「 $y = x^2 - 2$ というグラフと $y = x + 1$ という直線が交わる場所」と考えると、答えが視覚的に見えてきます。

方程式 $f(x) = g(x)$ の解は、 $y = f(x)$ と $y = g(x)$ の交点の $x$ 座標です。

グラフを描くことで：

解の個数が視覚的にわかる——「交点が2個なら解が2つ」
解のおおよその値（概算）がわかる——「交点の $x$ 座標を読み取る」
解が存在しない場合（交点なし）もすぐわかる——「グラフが重ならなければ解なし」

グラフと不等式の関係

「どちらのグラフが上にあるか？」——不等式の解はこれだけです。

不等式 $f(x) > g(x)$ の解は、 $y = f(x)$ のグラフが $y = g(x)$ のグラフより上にある $x$ の範囲です。

f(x) > g(x) \iff \text{$y = f(x)$ が $y = g(x)$ より上}

これを「 $h(x) = f(x) - g(x)$ として $h(x) > 0$ を解く」と読み替えることもできます——「差が正になる区間」を探す、という見方です。

インタラクティブデモ：2曲線の交点と不等式領域

$y = x^2 - 2$ （青の放物線）と $y = x + 1$ （オレンジの直線）を描画します。マウスを左右に動かすと、現在の $x$ 値での2つの関数値が比較され、 $f(x) > g(x)$ の領域（緑）と $f(x) < g(x)$ の領域（赤）が色で表示されます。黄色の点（交点）を境に色が変わるのを確認してください。

交点が方程式の解。上下の色分けが不等式の解の範囲

function loop() {
ctx.clearRect(0, 0, W, H);

var ox = W / 2, oy = H / 2 + 40;
var scale = 55;
var xVal = (mx / W) * 8 - 4;

function toScreen(x, y) {
  return { sx: ox + x * scale, sy: oy - y * scale };
}
function f(x) { return x * x - 2; }   // parabola
function g(x) { return x + 1; }       // line
// Intersection: x^2 - 2 = x + 1 => x^2 - x - 3 = 0
// x = (1 ± sqrt(13)) / 2
var disc = 1 + 12;
var x1int = (1 - Math.sqrt(disc)) / 2;  // ≈ -1.303
var x2int = (1 + Math.sqrt(disc)) / 2;  // ≈ 2.303

// Grid
ctx.strokeStyle = 'rgba(255,255,255,0.06)';
ctx.lineWidth = 1;
for (var gx = -5; gx <= 5; gx++) {
  var gs = toScreen(gx, 0);
  ctx.beginPath(); ctx.moveTo(gs.sx, 0); ctx.lineTo(gs.sx, H); ctx.stroke();
}
for (var gy = -3; gy <= 5; gy++) {
  var gs2 = toScreen(0, gy);
  ctx.beginPath(); ctx.moveTo(0, gs2.sy); ctx.lineTo(W, gs2.sy); ctx.stroke();
}

// Shade region where f(x) < g(x) (between intersections) — green (parabola below line)
ctx.fillStyle = 'rgba(102,187,106,0.15)';
ctx.beginPath();
var s1s = toScreen(x1int, g(x1int));
ctx.moveTo(s1s.sx, s1s.sy);
for (var xi = x1int; xi <= x2int; xi += 0.03) {
  var sg = toScreen(xi, g(xi));
  ctx.lineTo(sg.sx, sg.sy);
}
var s2s = toScreen(x2int, f(x2int));
ctx.lineTo(s2s.sx, s2s.sy);
for (var xi2 = x2int; xi2 >= x1int; xi2 -= 0.03) {
  var sf = toScreen(xi2, f(xi2));
  ctx.lineTo(sf.sx, sf.sy);
}
ctx.closePath();
ctx.fill();
ctx.fillStyle = 'rgba(102,187,106,0.6)';
ctx.font = '12px sans-serif';
ctx.fillText('f < g の領域', toScreen(0.5, 0.5).sx, toScreen(0.5, 0.5).sy);

// Axes
ctx.strokeStyle = 'rgba(255,255,255,0.3)';
ctx.lineWidth = 1.5;
ctx.beginPath(); ctx.moveTo(0, oy); ctx.lineTo(W, oy); ctx.stroke();
ctx.beginPath(); ctx.moveTo(ox, 0); ctx.lineTo(ox, H); ctx.stroke();

// Axis labels
ctx.fillStyle = 'rgba(255,255,255,0.4)';
ctx.font = '12px sans-serif';
for (var lx = -4; lx <= 4; lx++) {
  if (lx === 0) continue;
  var ls = toScreen(lx, 0);
  ctx.fillText(lx, ls.sx - 4, oy + 16);
}
for (var ly = -2; ly <= 4; ly++) {
  if (ly === 0) continue;
  var ls2 = toScreen(0, ly);
  ctx.fillText(ly, ox + 5, ls2.sy + 4);
}

// g(x) = x+1 line (orange)
ctx.strokeStyle = '#ffb74d';
ctx.lineWidth = 2.5;
ctx.beginPath();
var sG1 = toScreen(-4, g(-4)), sG2 = toScreen(4, g(4));
ctx.moveTo(sG1.sx, sG1.sy); ctx.lineTo(sG2.sx, sG2.sy); ctx.stroke();
ctx.fillStyle = '#ffb74d';
ctx.font = 'bold 13px sans-serif';
ctx.fillText('y = x + 1', toScreen(2.5, 4.2).sx, toScreen(2.5, 4.2).sy);

// f(x) = x^2 - 2 parabola (blue)
ctx.strokeStyle = '#4fc3f7';
ctx.lineWidth = 2.5;
ctx.beginPath();
var stF = false;
for (var xi3 = -4; xi3 <= 4; xi3 += 0.03) {
  var yi3 = f(xi3);
  if (Math.abs(yi3) > 6) { stF = false; continue; }
  var sF = toScreen(xi3, yi3);
  if (!stF) { ctx.moveTo(sF.sx, sF.sy); stF = true; } else ctx.lineTo(sF.sx, sF.sy);
}
ctx.stroke();
ctx.fillStyle = '#4fc3f7';
ctx.font = 'bold 13px sans-serif';
ctx.fillText('y = x² - 2', toScreen(2.2, 5.5).sx, toScreen(2.2, 5.5).sy);

// Intersection points
var si1 = toScreen(x1int, g(x1int));
var si2 = toScreen(x2int, g(x2int));
ctx.fillStyle = '#ffeb3b';
ctx.beginPath(); ctx.arc(si1.sx, si1.sy, 7, 0, Math.PI*2); ctx.fill();
ctx.beginPath(); ctx.arc(si2.sx, si2.sy, 7, 0, Math.PI*2); ctx.fill();
ctx.fillStyle = '#ffeb3b';
ctx.font = '12px sans-serif';
ctx.fillText('(' + x1int.toFixed(2) + ', ' + g(x1int).toFixed(2) + ')', si1.sx - 60, si1.sy - 12);
ctx.fillText('(' + x2int.toFixed(2) + ', ' + g(x2int).toFixed(2) + ')', si2.sx + 8, si2.sy - 12);

// Vertical scan line
var xCl = Math.max(-3.5, Math.min(3.5, xVal));
var scanSx = toScreen(xCl, 0).sx;
ctx.strokeStyle = 'rgba(255,235,59,0.4)';
ctx.lineWidth = 1;
ctx.setLineDash([4,3]);
ctx.beginPath(); ctx.moveTo(scanSx, 0); ctx.lineTo(scanSx, H); ctx.stroke();
ctx.setLineDash([]);

// Points on curves at xCl
var fV = f(xCl), gV = g(xCl);
if (Math.abs(fV) <= 6) {
  var pF = toScreen(xCl, fV);
  ctx.fillStyle = '#4fc3f7';
  ctx.beginPath(); ctx.arc(pF.sx, pF.sy, 5, 0, Math.PI*2); ctx.fill();
}
var pG = toScreen(xCl, gV);
ctx.fillStyle = '#ffb74d';
ctx.beginPath(); ctx.arc(pG.sx, pG.sy, 5, 0, Math.PI*2); ctx.fill();

// Info panel
ctx.fillStyle = 'rgba(0,0,0,0.7)';
ctx.beginPath(); ctx.roundRect(10, 10, 270, 110, 8); ctx.fill();
ctx.fillStyle = '#ffeb3b';
ctx.font = 'bold 13px monospace';
ctx.fillText('x = ' + xCl.toFixed(2), 18, 32);
ctx.fillStyle = '#4fc3f7';
ctx.font = '13px monospace';
ctx.fillText('f(x) = x²-2 = ' + fV.toFixed(2), 18, 52);
ctx.fillStyle = '#ffb74d';
ctx.fillText('g(x) = x+1 = ' + gV.toFixed(2), 18, 70);
var rel = fV > gV ? 'f(x) > g(x)' : fV < gV ? 'f(x) < g(x)' : 'f(x) = g(x)';
var relColor = fV > gV ? '#ef5350' : (fV < gV ? '#66bb6a' : '#ffeb3b');
ctx.fillStyle = relColor;
ctx.font = 'bold 14px sans-serif';
ctx.fillText(rel, 18, 90);
ctx.fillStyle = 'rgba(255,255,255,0.6)';
ctx.font = '11px sans-serif';
ctx.fillText('交点: x ≈ ' + x1int.toFixed(3) + ', ' + x2int.toFixed(3), 18, 108);

requestAnimationFrame(loop);
}
loop();

代数的な解法

$f(x) = g(x)$ を解く

「2つのグラフが交わる場所を代数で求める」——右辺を左辺に移項して0と比較します。

$x^2 - 2 = x + 1$

x^2 - x - 3 = 0

x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 12}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}

交点： $x = \dfrac{1-\sqrt{13}}{2} \approx -1.30$ および $x = \dfrac{1+\sqrt{13}}{2} \approx 2.30$

不等式 $f(x) < g(x)$ を解く

「放物線が直線の下にある区間」——交点を求めてから、放物線の形を考えます。

$x^2 - 2 < x + 1$ → $x^2 - x - 3 < 0$

$h(x) = x^2 - x - 3 < 0$ を解く。

$h(x)$ の零点が $\dfrac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$ なので、放物線（下に凸）が $0$ より小さいのは：

\frac{1 - \sqrt{13}}{2} < x < \frac{1 + \sqrt{13}}{2}

これはグラフで「直線が放物線より上にある区間」と一致します——「代数の答えがグラフの見た目と一致する」のを確認する習慣が大切です。

よく使う解法パターン

パターン①：2次不等式

$ax^2 + bx + c > 0$ の解——「放物線の形と判別式で場合分けする」：

$D > 0$ $D > 0$ の場合、2根 $\alpha < \beta$ $α < β$ として：
- $a > 0$ ： $x < \alpha$ または $x > \beta$ （谷型の外側）
- $a < 0$ ： $\alpha < x < \beta$ （山型の内側）
$D = 0$ $D = 0$ の場合、重根 $\alpha$ $α$ として：
- $a > 0$ ： $x \neq \alpha$ の全実数（ $x \leq \alpha$ のとき $= 0$ ）
$D < 0$ $D < 0$ の場合：
- $a > 0$ ：全実数（放物線が全部 $x$ 軸より上）
- $a < 0$ ：解なし（放物線が全部 $x$ 軸より下）

パターン②：グラフで考える（不等式の解）

$x^2 > 4$ → $y = x^2$ が $y = 4$ より上にある $x$ の範囲——「直線を引いて放物線のどちら側かを見る」

→ $x < -2$ または $x > 2$

練習問題

$x^2 - 3x + 2 < 0$ を解け。
$2x^2 - x - 1 \geq 0$ を解け。
$y = x^2 + 1$ と $y = -x + 3$ の交点を求め、 $x^2 + 1 < -x + 3$ を解け。
$|x - 2| < 3$ を解け。

解答

$(x-1)(x-2) < 0$ → $1 < x < 2$
$(2x+1)(x-1) \geq 0$ → $x \leq -\dfrac{1}{2}$ または $x \geq 1$
$x^2 + x - 2 = 0$ → $(x+2)(x-1) = 0$ → 交点 $x = -2, 1$ 。不等式の解： $-2 < x < 1$
$-3 < x - 2 < 3$ → $-1 < x < 5$

シリーズのまとめ

このシリーズ「関数」では、以下のトピックを学びました：

回	テーマ
1–3	二次関数（グラフ、最大・最小、判別式）
4–8	三角関数（定義、グラフ、加法・倍角・合成）
9–11	指数・対数関数（定義、方程式・不等式）
12–14	関数の理論（合成・逆関数、分数・無理関数、変換）
15	関数とグラフ（方程式・不等式への応用）

グラフを描いて視覚的に考える習慣が、関数の理解を深める最大の近道です——「式を解くだけでなく、グラフで確認する」という二段構えの思考が数学的直感を育てます。

まとめ

f(x) = g(x) \text{ の解} \iff \text{グラフの交点の } x \text{ 座標}

f(x) > g(x) \text{ の解} \iff y = f(x) \text{ が } y = g(x) \text{ より上にある } x \text{ の範囲}

交点の個数は判別式で事前チェック可能——「計算前にグラフの形を想像する」
グラフ上で不等式の解が「色で塗られた領域」として確認できる——「視覚で確かめてから代数で証明する」