数学

#07 ふれてみよう高校数学関数

倍角・半角公式

倍角公式

「 $\sin 60°$ は知っている。じゃあ $\sin 120°$ は？それは $\sin(2 \times 60°)$ ——つまり $\sin$ の中の角度を2倍にしたらどうなる？」

前回の加法定理で $\alpha = \beta = \theta$ とおくだけで、倍角公式が得られます——「加法定理を自分自身に適用する」だけです。

$\sin 2\theta$

\sin 2\theta = \sin(\theta + \theta) = \sin\theta\cos\theta + \cos\theta\sin\theta

\boxed{\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta}

「sinとcosを掛けて2倍」—— $\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 、 $\cos 60° = \frac{1}{2}$ なら $\sin 120° = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ （単位円で確認できます）。

$\cos 2\theta$

\cos 2\theta = \cos(\theta + \theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ を利用して3通りに書けます——「どれを使うかは問題によって選ぶ」という便利な変換です：

\boxed{ \cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta }

$\tan 2\theta$

\boxed{\tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}}

半角公式

倍角公式を「逆方向」に使います——「 $\cos 2\theta$ の式を $\sin^2\theta$ について解く」という発想です。

$\cos 2\theta$ の3つの表現から $\cos^2\theta$ と $\sin^2\theta$ を解くと：

\cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}

\sin^2\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}

$\theta$ を $\dfrac{\theta}{2}$ に置き換えると半角公式になります——「半分の角度でもcos一つで計算できる」という公式です：

\boxed{\cos^2\frac{\theta}{2} = \frac{1 + \cos\theta}{2}} \qquad \boxed{\sin^2\frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos\theta}{2}}

\tan^2\frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos\theta}{1 + \cos\theta}

「cos $\theta$ の値だけ知っていれば、半分の角度のsinとcosの2乗がわかる」——これが半角公式の便利さです。

インタラクティブデモ：sin θ と sin 2θ の比較

青が $y = \sin x$ 、オレンジが $y = \sin 2x$ です。 $\sin 2x$ の周期が $\sin x$ の半分（周波数が2倍）であることを確認してください。マウスを左右に動かすと、対応する $\theta$ での2つの値が表示されます——右下の情報パネルで「 $2\sin\theta\cos\theta$ 」が $\sin 2\theta$ に一致しているのも確かめられます。

青: y=sin(x)　オレンジ: y=sin(2x)　周期の違いに注目

function loop() {
ctx.clearRect(0, 0, W, H);

var ox = W / 2, oy = H / 2 + 10;
var scaleX = 50, scaleY = 80;
var theta = (mx / W) * Math.PI * 4 - Math.PI * 2;

function toScreen(x, y) {
  return { sx: ox + x * scaleX, sy: oy - y * scaleY };
}

// Grid
ctx.strokeStyle = 'rgba(255,255,255,0.06)';
ctx.lineWidth = 1;
for (var gi = -4; gi <= 4; gi++) {
  var gs = toScreen(gi * Math.PI, 0);
  ctx.beginPath(); ctx.moveTo(gs.sx, 0); ctx.lineTo(gs.sx, H); ctx.stroke();
}
for (var gy = -1; gy <= 1; gy++) {
  var gs2 = toScreen(0, gy);
  ctx.beginPath(); ctx.moveTo(0, gs2.sy); ctx.lineTo(W, gs2.sy); ctx.stroke();
}

// Axes
ctx.strokeStyle = 'rgba(255,255,255,0.3)';
ctx.lineWidth = 1.5;
ctx.beginPath(); ctx.moveTo(0, oy); ctx.lineTo(W, oy); ctx.stroke();
ctx.beginPath(); ctx.moveTo(ox, 0); ctx.lineTo(ox, H); ctx.stroke();

// Pi labels
ctx.fillStyle = 'rgba(255,255,255,0.4)';
ctx.font = '12px sans-serif';
var piLbls = [[-2,'-2π'],[-1,'-π'],[1,'π'],[2,'2π']];
for (var li = 0; li < piLbls.length; li++) {
  var ls = toScreen(piLbls[li][0] * Math.PI, 0);
  ctx.fillText(piLbls[li][1], ls.sx - 8, oy + 16);
}
ctx.fillText('1', ox + 4, toScreen(0,1).sy - 2);
ctx.fillText('-1', ox + 4, toScreen(0,-1).sy + 12);

// sin(x) - blue
ctx.strokeStyle = '#4fc3f7';
ctx.lineWidth = 2.5;
ctx.beginPath();
var range = W / (2 * scaleX);
for (var xi = -range; xi <= range; xi += 0.03) {
  var s = toScreen(xi, Math.sin(xi));
  if (xi === -range) ctx.moveTo(s.sx, s.sy); else ctx.lineTo(s.sx, s.sy);
}
ctx.stroke();

// sin(2x) - orange
ctx.strokeStyle = '#ff8a65';
ctx.lineWidth = 2.5;
ctx.beginPath();
for (var xi2 = -range; xi2 <= range; xi2 += 0.03) {
  var s2 = toScreen(xi2, Math.sin(2 * xi2));
  if (xi2 === -range) ctx.moveTo(s2.sx, s2.sy); else ctx.lineTo(s2.sx, s2.sy);
}
ctx.stroke();

// Vertical line at theta
var sTheta = toScreen(theta, 0);
ctx.strokeStyle = 'rgba(255,235,59,0.5)';
ctx.lineWidth = 1;
ctx.setLineDash([4,3]);
ctx.beginPath(); ctx.moveTo(sTheta.sx, 0); ctx.lineTo(sTheta.sx, H); ctx.stroke();
ctx.setLineDash([]);

// Points at theta
var sinV = Math.sin(theta);
var sin2V = Math.sin(2 * theta);
var sPt1 = toScreen(theta, sinV);
var sPt2 = toScreen(theta, sin2V);
ctx.fillStyle = '#4fc3f7';
ctx.beginPath(); ctx.arc(sPt1.sx, sPt1.sy, 6, 0, Math.PI * 2); ctx.fill();
ctx.fillStyle = '#ff8a65';
ctx.beginPath(); ctx.arc(sPt2.sx, sPt2.sy, 6, 0, Math.PI * 2); ctx.fill();

// Info panel
var deg = (theta * 180 / Math.PI).toFixed(1);
ctx.fillStyle = 'rgba(0,0,0,0.65)';
ctx.beginPath(); ctx.roundRect(10, 10, 230, 80, 8); ctx.fill();
ctx.fillStyle = '#ffeb3b';
ctx.font = 'bold 13px monospace';
ctx.fillText('θ = ' + deg + '°', 18, 32);
ctx.fillStyle = '#4fc3f7';
ctx.font = '13px monospace';
ctx.fillText('sin θ  = ' + sinV.toFixed(3), 18, 54);
ctx.fillStyle = '#ff8a65';
ctx.fillText('sin 2θ = ' + sin2V.toFixed(3), 18, 74);

// Verify 2sinθcosθ
var verify = (2 * sinV * Math.cos(theta)).toFixed(3);
ctx.fillStyle = 'rgba(255,255,255,0.5)';
ctx.font = '11px sans-serif';
ctx.fillText('2sinθcosθ = ' + verify, 18, 90);

// Legend
ctx.fillStyle = 'rgba(0,0,0,0.5)';
ctx.beginPath(); ctx.roundRect(W - 170, H - 50, 158, 38, 6); ctx.fill();
ctx.fillStyle = '#4fc3f7'; ctx.font = '13px sans-serif';
ctx.fillText('— sin(x)  周期:2π', W - 160, H - 30);
ctx.fillStyle = '#ff8a65';
ctx.fillText('— sin(2x) 周期:π', W - 160, H - 14);

requestAnimationFrame(loop);
}
loop();

積を和に変換する公式

倍角公式の逆を利用すると、三角関数の積を和に変換できます——「掛け算から足し算へ」変換することで、複雑な式が整理しやすくなります：

\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}\bigl[\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)\bigr]

\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}\bigl[\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)\bigr]

\sin\alpha\sin\beta = -\frac{1}{2}\bigl[\cos(\alpha+\beta) - \cos(\alpha-\beta)\bigr]

具体的な計算例

例① $\sin 22.5°$ を求める

「22.5°は45°の半分」——半角公式の出番です。

$\sin^2 22.5° = \dfrac{1 - \cos 45°}{2} = \dfrac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \dfrac{2 - \sqrt{2}}{4}$

$22.5° > 0$ なので $\sin 22.5° > 0$ 、よって：

\sin 22.5° = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}

例② $\cos^4\theta + \sin^4\theta$ を簡略化する

「4乗は扱いにくいが、2乗の2乗と考えて整理する」——公式を組み合わせる発想です。

= (\cos^2\theta + \sin^2\theta)^2 - 2\cos^2\theta\sin^2\theta = 1 - \frac{\sin^2 2\theta}{2} = 1 - \frac{1 - \cos 4\theta}{4} = \frac{3 + \cos 4\theta}{4}

練習問題

$\sin\theta = \dfrac{3}{5}$ （ $0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}$ ）のとき、 $\sin 2\theta$ 、 $\cos 2\theta$ を求めよ。
$\cos 2\theta = \dfrac{1}{2}$ （ $0 < \theta < \pi$ ）のとき、 $\theta$ を求めよ。
$\sin^2\theta + \sin^2 2\theta = 1$ を満たす $\theta$ を求めよ（ $0 \leq \theta \leq \pi$ ）。

解答

$\cos\theta = \dfrac{4}{5}$ 。 $\sin 2\theta = 2 \cdot \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{4}{5} = \dfrac{24}{25}$ 、 $\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta = 1 - \dfrac{18}{25} = \dfrac{7}{25}$
$1 - 2\sin^2\theta = \dfrac{1}{2}$ → $\sin^2\theta = \dfrac{1}{4}$ → $\sin\theta = \dfrac{1}{2}$ （ $0 < \theta < \pi$ ）→ $\theta = \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}$
$\sin^2\theta + 4\sin^2\theta\cos^2\theta = 1$ → $\sin^2\theta(1 + 4\cos^2\theta) = 1$ → $\theta = \dfrac{\pi}{3}, \dfrac{2\pi}{3}$

まとめ

公式	形
倍角（sin）	$\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$
倍角（cos）	$\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta$
倍角（tan）	$\tan 2\theta = \dfrac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}$
半角	$\sin^2\dfrac{\theta}{2} = \dfrac{1-\cos\theta}{2}$ 、 $\cos^2\dfrac{\theta}{2} = \dfrac{1+\cos\theta}{2}$

倍角・半角公式はすべて加法定理から導けます——「暗記しなくても、加法定理一つから再導出できる」というのが本質です。

次回は三角関数の合成を学びます。 $A\sin\theta + B\cos\theta$ という形を一つのsinにまとめる公式は、波の重ね合わせを理解するのに重要な技術です。

倍角公式

sin⁡2θ\sin 2\thetasin2θ

cos⁡2θ\cos 2\thetacos2θ

tan⁡2θ\tan 2\thetatan2θ