関数のグラフ変換

グラフ変換の基本一覧

「 $y = x^2$ のグラフを右に2つ、上に3つ動かすと？」——グラフ変換とは、知っているグラフを「動かす・裏返す・伸び縮みさせる」操作です。一つの式を覚えれば、その変形パターンをすべて理解できます。

$y = f(x)$ を基準としたとき：

変換	グラフの移動
$y = f(x - a)$	$x$ 方向に $+a$ （右に $a$ ）移動
$y = f(x) + b$	$y$ 方向に $+b$ （上に $b$ ）移動
$y = f(-x)$	$y$ 軸に関して対称移動
$y = -f(x)$	$x$ 軸に関して対称移動
$y = f(ax)$	$x$ 方向に $\dfrac{1}{a}$ に圧縮
$y = af(x)$	$y$ 方向に $a$ 倍に拡大
$y = \lvert f(x) \rvert$	$x$ 軸の下部を折り返し
$y = f(\lvert x \rvert)$	$y$ 軸の左部を折り返し

重要な注意点

$y = f(x - a)$ で $a > 0$ のとき、グラフは右に $a$ 移動します（ $x$ から $a$ を引くと右方向という点が紛らわしいので注意）。

「マイナスなのに右に動く」——直感と逆に思えますが、こう考えてください：「 $f(x-a) = b$ になるのはどの $x$ か？」→ $x = f^{-1}(b) + a$ 、つまり元より $a$ だけ右の場所です。

確認方法： $f(x-a) = b$ になるのは $x - a = f^{-1}(b)$ 、つまり元の $f^{-1}(b)$ よりも $x$ が $a$ だけ大きい位置。

インタラクティブデモ： $y = x^2$ の各種変換

マウスを左右に動かすと、変換のパラメータが変わります。基準関数 $y = x^2$ （薄い白）と変換後のグラフ（明るい色）を比較してください——青い放物線の頂点がマウスの位置に合わせて左右に動くのが、「横移動」の視覚的な確認になります。

マウスを左右に動かして変換パラメータを変えてみよう

function loop() {
ctx.clearRect(0, 0, W, H);

var ox = W / 2, oy = H / 2 + 20;
var scale = 45;
var t = (mx / W) * 4 - 2;

function toScreen(x, y) {
  return { sx: ox + x * scale, sy: oy - y * scale };
}

// Grid
ctx.strokeStyle = 'rgba(255,255,255,0.06)';
ctx.lineWidth = 1;
for (var gx = -6; gx <= 6; gx++) {
  var gs = toScreen(gx, 0);
  ctx.beginPath(); ctx.moveTo(gs.sx, 0); ctx.lineTo(gs.sx, H); ctx.stroke();
}
for (var gy = -2; gy <= 5; gy++) {
  var gs2 = toScreen(0, gy);
  ctx.beginPath(); ctx.moveTo(0, gs2.sy); ctx.lineTo(W, gs2.sy); ctx.stroke();
}

// Axes
ctx.strokeStyle = 'rgba(255,255,255,0.3)';
ctx.lineWidth = 1.5;
ctx.beginPath(); ctx.moveTo(0, oy); ctx.lineTo(W, oy); ctx.stroke();
ctx.beginPath(); ctx.moveTo(ox, 0); ctx.lineTo(ox, H); ctx.stroke();

// Axis labels
ctx.fillStyle = 'rgba(255,255,255,0.35)';
ctx.font = '11px sans-serif';
for (var lx = -5; lx <= 5; lx++) {
  if (lx === 0) continue;
  var ls = toScreen(lx, 0);
  ctx.fillText(lx, ls.sx - 4, oy + 14);
}
for (var ly = -1; ly <= 4; ly++) {
  if (ly === 0) continue;
  var ls2 = toScreen(0, ly);
  ctx.fillText(ly, ox + 4, ls2.sy + 4);
}

// Base function y=x^2 (dim white)
ctx.strokeStyle = 'rgba(255,255,255,0.2)';
ctx.lineWidth = 1.5;
ctx.beginPath();
var stB = false;
for (var xi = -6; xi <= 6; xi += 0.04) {
  var yi = xi * xi;
  if (yi > 6) { stB = false; continue; }
  var s = toScreen(xi, yi);
  if (!stB) { ctx.moveTo(s.sx, s.sy); stB = true; } else ctx.lineTo(s.sx, s.sy);
}
ctx.stroke();

function drawCurve(fn, color, lineWidth) {
  ctx.strokeStyle = color;
  ctx.lineWidth = lineWidth || 2.5;
  ctx.beginPath();
  var st = false;
  for (var xi = -6; xi <= 6; xi += 0.04) {
    var yi = fn(xi);
    if (isNaN(yi) || Math.abs(yi) > 6) { st = false; continue; }
    var s = toScreen(xi, yi);
    if (!st) { ctx.moveTo(s.sx, s.sy); st = true; } else ctx.lineTo(s.sx, s.sy);
  }
  ctx.stroke();
}

// Transformation 1: y = (x-t)^2  — horizontal shift
drawCurve(function(x) { return (x - t) * (x - t); }, '#4fc3f7');
// Transformation 2: y = x^2 + t  — vertical shift
drawCurve(function(x) { return x * x + t; }, '#ff8a65');
// Transformation 3: y = |x^2 - 1| — absolute value
drawCurve(function(x) { return Math.abs(x * x - 1); }, '#66bb6a');
// Transformation 4: y = (-x)^2 = x^2 (same for parabola), show y=-x^2 instead
drawCurve(function(x) { return -(x * x); }, '#ef5350');

// Vertices
var v1 = toScreen(t, 0);
var v2 = toScreen(0, t);
ctx.fillStyle = '#4fc3f7';
ctx.beginPath(); ctx.arc(v1.sx, v1.sy, 5, 0, Math.PI*2); ctx.fill();
ctx.fillStyle = '#ff8a65';
if (Math.abs(t) <= 5) {
  ctx.beginPath(); ctx.arc(v2.sx, v2.sy, 5, 0, Math.PI*2); ctx.fill();
}

// Info panel
ctx.fillStyle = 'rgba(0,0,0,0.7)';
ctx.beginPath(); ctx.roundRect(10, 10, 270, 120, 8); ctx.fill();
ctx.fillStyle = 'rgba(255,255,255,0.4)';
ctx.font = '12px sans-serif';
ctx.fillText('基準: y = x²', 18, 30);
ctx.fillStyle = '#4fc3f7'; ctx.font = 'bold 13px monospace';
ctx.fillText('y = (x - ' + t.toFixed(1) + ')²', 18, 52);
ctx.fillStyle = 'rgba(79,195,247,0.6)'; ctx.font = '11px sans-serif';
ctx.fillText('横方向に ' + t.toFixed(1) + ' 移動', 18, 66);
ctx.fillStyle = '#ff8a65'; ctx.font = 'bold 13px monospace';
ctx.fillText('y = x² + ' + t.toFixed(1), 18, 84);
ctx.fillStyle = 'rgba(255,138,101,0.6)'; ctx.font = '11px sans-serif';
ctx.fillText('縦方向に ' + t.toFixed(1) + ' 移動', 18, 98);
ctx.fillStyle = '#66bb6a'; ctx.font = 'bold 13px monospace';
ctx.fillText('y = |x² - 1|', 18, 116);

// Legend on right
ctx.fillStyle = 'rgba(0,0,0,0.6)';
ctx.beginPath(); ctx.roundRect(W - 175, H - 60, 163, 48, 6); ctx.fill();
ctx.fillStyle = '#4fc3f7'; ctx.font = '12px sans-serif';
ctx.fillText('— y=(x-t)²　平行移動', W - 165, H - 42);
ctx.fillStyle = '#ff8a65';
ctx.fillText('— y=x²+t　平行移動', W - 165, H - 26);
ctx.fillStyle = '#ef5350';
ctx.fillText('— y=-x²　x 軸対称', W - 165, H - 10);

requestAnimationFrame(loop);
}
loop();

各変換の詳細

① 平行移動

「住所をずらす」——グラフの形を変えずに、場所だけ動かします。

y = f(x - a) + b

→ $x$ 方向に $+a$ 、 $y$ 方向に $+b$

例： $y = x^2$ → $y = (x-3)^2 + 2$ （右3・上2）——「頂点が $(0,0)$ から $(3,2)$ に移動する」

② 対称移動

「鏡に映す」——どの鏡（ $x$ 軸・ $y$ 軸・原点）で反射させるかで公式が変わります。

変換	意味
$y = -f(x)$	$x$ 軸対称——「 $y$ の符号を逆にする」
$y = f(-x)$	$y$ 軸対称——「 $x$ の符号を逆にして入力する」
$y = -f(-x)$	原点対称——「両方の符号を逆にする」

③ 絶対値変換

「マイナスの部分をプラスに折り返す」——グラフの一部が鏡のように反転します。

$y = \lvert f(x) \rvert$ ： $f(x) < 0$ の部分を $x$ 軸に関して折り返す——「 $x$ 軸の下にある部分が上に跳ね返る」

$y = f(\lvert x \rvert)$ ： $x \geq 0$ の部分を $y$ 軸に関して折り返す——「右半分を左にコピーする」

$y = |x|$ のグラフ

y = |x| = \begin{cases} x & (x \geq 0) \\ -x & (x < 0) \end{cases}

V字型のグラフで、 $(0,0)$ が頂点。 $y = x$ と $y = -x$ を合わせた形——「右半分は右上がりの直線、左半分は右下がりの直線」です。

練習問題

$y = x^2$ を「右2、下3」移動したグラフの式を求めよ。
$y = \sqrt{x}$ のグラフを $y$ 軸対称移動したグラフの式を求め、定義域も答えよ。
$y = x^2 - 4$ のグラフを $y = |x^2 - 4|$ に変換したとき、変化する部分を説明せよ。
$y = -2(x-1)^2 + 3$ のグラフの頂点・軸・開口方向を答えよ。

解答

$y = (x-2)^2 - 3$
$y = \sqrt{-x}$ （定義域： $x \leq 0$ ）
$-2 < x < 2$ の部分（ $x^2 - 4 < 0$ の部分）が $x$ 軸の下から上に折り返される
頂点 $(1, 3)$ 、軸 $x = 1$ 、上に凸（ $a = -2 < 0$ ）

まとめ

グラフ変換は以下の順で理解しましょう——「どんな操作をしたか」を一つずつ確認するのが確実です：

平行移動： $x-a$ （右）、 $+b$ （上）——「括弧の中を引いたら右、足したら左」
対称移動： $-f$ （ $x$ 軸）、 $f(-x)$ （ $y$ 軸）、 $-f(-x)$ （原点）——「どの軸で折るかで符号が変わる」
伸縮： $af(x)$ （ $y$ 方向）、 $f(ax)$ （ $x$ 方向圧縮）——「 $y$ 方向は外の係数、 $x$ 方向は中の係数」
絶対値： $|f(x)|$ （下部を折り返し）、 $f(|x|)$ （右半分を折り返し）——「どちらを折るかが違う」

次回は関数とグラフを使って方程式・不等式を視覚的に解く方法を学びます。「式を解く」ではなく「グラフの交点を探す」という視点の転換が鍵です。