合成関数と逆関数

合成関数

「コーヒーを作るには、まずお湯を沸かして（関数 $g$ ）、それからコーヒー粉を入れて抽出する（関数 $f$ ）」——2つの操作を順番に組み合わせる、これが合成関数のイメージです。

2つの関数 $f$ 、 $g$ があるとき、 $g$ の値を $f$ に代入した新しい関数

(f \circ g)(x) = f(g(x))

を $f$ と $g$ の合成関数といいます。

注意

一般に $f \circ g \neq g \circ f$ （順序が重要）——「お湯を沸かしてからコーヒーを入れる」と「コーヒーを入れてからお湯を沸かす」は違う結果になります
$g$ の値域が $f$ の定義域に含まれている必要がある

例

$f(x) = x^2$ 、 $g(x) = x + 1$ のとき：

(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x+1) = (x+1)^2

(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x^2) = x^2 + 1

$(x+1)^2 \neq x^2 + 1$ なので、 $f \circ g \neq g \circ f$ ——順序を逆にすると全然違う関数になります。

逆関数

「ある操作を元に戻す操作」——逆関数とはそういうものです。「2倍にする」関数の逆は「半分にする」関数。「3を足す」関数の逆は「3を引く」関数です。

関数 $y = f(x)$ において、 $x$ と $y$ を入れ替えた関数が存在するとき、それを逆関数 $f^{-1}(x)$ といいます。

逆関数の求め方

$y = f(x)$ を $x$ について解く
$x$ と $y$ を入れ替える（ $x = f^{-1}(y)$ → $y = f^{-1}(x)$ ）

「 $y$ をいじって $x$ を求めてから、ラベルを入れ替える」——この2ステップだけです。

例

$f(x) = 2x + 3$ の逆関数を求めよ。

$y = 2x + 3$ → $x = \dfrac{y-3}{2}$ → 入れ替えて：

f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}

確認： $f(f^{-1}(x)) = 2 \cdot \dfrac{x-3}{2} + 3 = x - 3 + 3 = x$ （元に戻る）

逆関数の存在条件

関数 $f$ が逆関数を持つためには、 $f$ が単射（1対1対応）である必要があります。

つまり、 $x_1 \neq x_2 \implies f(x_1) \neq f(x_2)$ が成り立つ必要があります——「違う入力からは、必ず違う出力が出る」ということです。

「同じ結果が出る入力が複数あると、逆向きに戻せない」——たとえば $y = x^2$ に $y = 4$ を入れると $x = 2$ か $x = -2$ の2つが出てきて、「どちらに戻せばいいか」がわかりません。

$y = x^2$ は $\mathbb{R}$ 全体では単射でないため逆関数を持ちませんが、 $x \geq 0$ に制限すると単射になり、逆関数 $y = \sqrt{x}$ が存在します。

インタラクティブデモ：関数と逆関数の対称性

$y = x^2$ （ $x \geq 0$ ）（青）と逆関数 $y = \sqrt{x}$ （オレンジ）は、直線 $y = x$ （緑の点線）に関して対称です。マウスを左右に動かすと、対応する点ペアが強調されます——青い点と橙色の点がちょうど $y=x$ の線に対して鏡対称になっているのを確認してください。

青: y=x²(x≥0)　オレンジ: y=√x　緑点線: y=x（対称軸）

function loop() {
ctx.clearRect(0, 0, W, H);

var ox = W / 2 - 100, oy = H / 2 + 100;
var scale = 45;
var xVal = (mx / W) * 5;
xVal = Math.max(0, Math.min(5, xVal));

function toScreen(x, y) {
  return { sx: ox + x * scale, sy: oy - y * scale };
}

// Grid
ctx.strokeStyle = 'rgba(255,255,255,0.06)';
ctx.lineWidth = 1;
for (var gi = 0; gi <= 6; gi++) {
  var gs = toScreen(gi, 0);
  ctx.beginPath(); ctx.moveTo(gs.sx, 0); ctx.lineTo(gs.sx, H); ctx.stroke();
  var gs2 = toScreen(0, gi);
  ctx.beginPath(); ctx.moveTo(0, gs2.sy); ctx.lineTo(W, gs2.sy); ctx.stroke();
}

// Axes
ctx.strokeStyle = 'rgba(255,255,255,0.3)';
ctx.lineWidth = 1.5;
ctx.beginPath(); ctx.moveTo(0, oy); ctx.lineTo(W, oy); ctx.stroke();
ctx.beginPath(); ctx.moveTo(ox, 0); ctx.lineTo(ox, H); ctx.stroke();

// Axis labels
ctx.fillStyle = 'rgba(255,255,255,0.4)';
ctx.font = '12px sans-serif';
for (var lx = 1; lx <= 5; lx++) {
  var ls = toScreen(lx, 0);
  ctx.fillText(lx, ls.sx - 4, oy + 16);
}
for (var ly = 1; ly <= 5; ly++) {
  var ls2 = toScreen(0, ly);
  ctx.fillText(ly, ox + 6, ls2.sy + 4);
}

// y=x line (green dashed)
ctx.strokeStyle = 'rgba(102,187,106,0.45)';
ctx.lineWidth = 1.5;
ctx.setLineDash([6,4]);
ctx.beginPath();
var sA = toScreen(0, 0), sB = toScreen(5.5, 5.5);
ctx.moveTo(sA.sx, sA.sy); ctx.lineTo(sB.sx, sB.sy); ctx.stroke();
ctx.setLineDash([]);
ctx.fillStyle = 'rgba(102,187,106,0.7)';
ctx.font = '13px sans-serif';
ctx.fillText('y = x', toScreen(4.6, 4.9).sx, toScreen(4.6, 4.9).sy);

// y=x^2 (x>=0) - blue
ctx.strokeStyle = '#4fc3f7';
ctx.lineWidth = 2.5;
ctx.beginPath();
var st1 = false;
for (var xi = 0; xi <= 5.5; xi += 0.03) {
  var yi = xi * xi;
  if (yi > 6) { st1 = false; continue; }
  var s = toScreen(xi, yi);
  if (!st1) { ctx.moveTo(s.sx, s.sy); st1 = true; } else ctx.lineTo(s.sx, s.sy);
}
ctx.stroke();
ctx.fillStyle = '#4fc3f7';
ctx.font = 'bold 13px sans-serif';
ctx.fillText('y = x² (x≥0)', toScreen(1.5, 5.5).sx, toScreen(1.5, 5.5).sy);

// y=sqrt(x) - orange
ctx.strokeStyle = '#ffb74d';
ctx.lineWidth = 2.5;
ctx.beginPath();
var st2 = false;
for (var xi2 = 0; xi2 <= 5.5; xi2 += 0.03) {
  var yi2 = Math.sqrt(xi2);
  var s2 = toScreen(xi2, yi2);
  if (!st2) { ctx.moveTo(s2.sx, s2.sy); st2 = true; } else ctx.lineTo(s2.sx, s2.sy);
}
ctx.stroke();
ctx.fillStyle = '#ffb74d';
ctx.fillText('y = √x', toScreen(5.0, 2.4).sx, toScreen(5.0, 2.4).sy);

// Symmetric pair
var yOnF = xVal * xVal;
var yOnInv = Math.sqrt(xVal);

if (yOnF <= 6) {
  var pF = toScreen(xVal, yOnF);
  var pMirrorF = toScreen(yOnF, xVal);
  ctx.strokeStyle = 'rgba(255,235,59,0.5)';
  ctx.lineWidth = 1.5;
  ctx.setLineDash([3,3]);
  ctx.beginPath(); ctx.moveTo(pF.sx, pF.sy); ctx.lineTo(pMirrorF.sx, pMirrorF.sy); ctx.stroke();
  ctx.setLineDash([]);
  ctx.fillStyle = '#4fc3f7';
  ctx.beginPath(); ctx.arc(pF.sx, pF.sy, 6, 0, Math.PI*2); ctx.fill();
  ctx.fillStyle = '#ffb74d';
  ctx.beginPath(); ctx.arc(pMirrorF.sx, pMirrorF.sy, 6, 0, Math.PI*2); ctx.fill();
}

var pInv = toScreen(xVal, yOnInv);
var pMirrorInv = toScreen(yOnInv, xVal);
ctx.strokeStyle = 'rgba(255,235,59,0.3)';
ctx.lineWidth = 1.5;
ctx.setLineDash([3,3]);
ctx.beginPath(); ctx.moveTo(pInv.sx, pInv.sy); ctx.lineTo(pMirrorInv.sx, pMirrorInv.sy); ctx.stroke();
ctx.setLineDash([]);
ctx.fillStyle = '#ffb74d';
ctx.beginPath(); ctx.arc(pInv.sx, pInv.sy, 6, 0, Math.PI*2); ctx.fill();

// Info panel
ctx.fillStyle = 'rgba(0,0,0,0.65)';
ctx.beginPath(); ctx.roundRect(10, 10, 230, 70, 8); ctx.fill();
ctx.fillStyle = '#ffeb3b';
ctx.font = 'bold 13px monospace';
ctx.fillText('x = ' + xVal.toFixed(2), 18, 32);
ctx.fillStyle = '#4fc3f7';
ctx.font = '13px monospace';
ctx.fillText('f(x) = x² = ' + (xVal*xVal).toFixed(2), 18, 52);
ctx.fillStyle = '#ffb74d';
ctx.fillText('f⁻¹(x) = √x = ' + yOnInv.toFixed(3), 18, 70);

requestAnimationFrame(loop);
}
loop();

合成関数と逆関数の関係

「操作して、戻す」——これを繰り返すと元に戻ります。逆関数の定義から、次が成り立ちます：

(f \circ f^{-1})(x) = f(f^{-1}(x)) = x

(f^{-1} \circ f)(x) = f^{-1}(f(x)) = x

これは恒等関数（ $\text{id}(x) = x$ ）になります——「何もしない関数」です。「前進して後退すれば元の場所に戻る」のと同じ論理です。

グラフ上の対称性

関数 $y = f(x)$ と逆関数 $y = f^{-1}(x)$ のグラフは、直線 $y = x$ に関して対称です。

理由： $y = f(x)$ の点 $(a, b)$ は $y = f^{-1}(x)$ では $(b, a)$ に対応します。 $(a,b)$ と $(b,a)$ は $y = x$ に関して対称——「 $x$ 座標と $y$ 座標が入れ替わる」という逆関数の定義が、そのままグラフの対称性として現れます。

練習問題

$f(x) = 3x - 5$ の逆関数 $f^{-1}(x)$ を求めよ。
$f(x) = \sqrt{x+1}$ （ $x \geq -1$ ）の逆関数を求めよ。
$f(x) = x^2 + 1$ （ $x \geq 0$ ）と $g(x) = 2x - 1$ の合成関数 $f(g(x))$ を求めよ。

解答

$y = 3x-5$ → $x = \dfrac{y+5}{3}$ → $f^{-1}(x) = \dfrac{x+5}{3}$
$y = \sqrt{x+1}$ → $y^2 = x+1$ → $x = y^2 - 1$ → $f^{-1}(x) = x^2 - 1$ （ $x \geq 0$ ）
$f(g(x)) = f(2x-1) = (2x-1)^2 + 1 = 4x^2 - 4x + 2$

まとめ

合成関数： $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ 、順序に注意——「逆順は別の関数」
逆関数： $f^{-1}(x)$ は $x$ と $y$ を入れ替えて解く——「操作を逆向きにする」
逆関数の存在条件： $f$ が単射（1対1）であること——「同じ結果が出る入力が二つあったら逆には戻れない」
$y = f(x)$ と $y = f^{-1}(x)$ は $y = x$ に関して対称

次回は分数関数と無理関数を学びます。「 $\dfrac{1}{x}$ 」の双曲線と「 $\sqrt{x}$ 」の半放物線——どちらも日常の現象を記述する重要なグラフです。