指数・対数の方程式

指数方程式の解き方

「預金が2倍になるのは何年後？」「放射性物質が半分になるのは何年後？」——こういった問いを解くのが指数方程式です。

大きく3つのパターンに分かれます——まず「底をそろえられるか？」を確認し、そうでなければ「置換」か「対数を取る」かを選びます。

パターン① 底をそろえる

2^x = 8 \implies 2^x = 2^3 \implies x = 3

「同じ底ならば指数の大小で比較できる」——両辺を同じ底の累乗で表すことができれば、一番簡単に解けます。

パターン② 置換する

4^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 0

「 $4^x = (2^x)^2$ 」と気づいたら、 $t = 2^x$ （ $t > 0$ ）と置き換えれば二次方程式になります：

$t = 2^x$ （ $t > 0$ ）とおくと $4^x = (2^x)^2 = t^2$ ：

t^2 - 5t + 4 = 0 \implies (t-1)(t-4) = 0

$t = 1 = 2^0$ → $x = 0$ 、 $t = 4 = 2^2$ → $x = 2$

パターン③ 対数をとる

3^x = 7 \implies x\log 3 = \log 7 \implies x = \frac{\log 7}{\log 3} = \log_3 7

「底をそろえられないときは両辺の対数を取る」——指数の計算を対数の計算に変換します。

対数方程式の解き方

「真数条件を忘れずに！」——対数の定義域は正の数だけなので、解が真数条件を満たすかどうかの確認が必須です。

パターン① 同じ底に変換

\log_2(x+1) = 3 \implies x+1 = 2^3 = 8 \implies x = 7

注意：真数条件 $x + 1 > 0$ 、つまり $x > -1$ を確認。 $x = 7$ は満たす。

「対数 = 数字」の形は、「底の(数字)乗 = 真数」に変換するだけです。

パターン② 対数の性質を使う

\log_2 x + \log_2(x - 2) = 3 \implies \log_2 x(x-2) = 3 \implies x(x-2) = 8 \implies x^2 - 2x - 8 = 0 \implies (x+2)(x-4) = 0

$x = -2$ は真数条件（ $x > 0, x > 2$ ）を満たさないので不適。 $x = 4$ が解。

「対数の足し算は真数の掛け算」——この変換で二次方程式になることが多いです。

インタラクティブデモ：グラフによる指数方程式の解

$y = 2^x$ と水平線 $y = k$ の交点が $2^x = k$ の解です。マウスを上下に動かすと $k$ が変わり、解 $x = \log_2 k$ が更新されます——「グラフの交点が方程式の解」という視覚的な確認ができます。

マウスを上下に動かして水平線を移動し、交点（解）を確認

function loop() {
ctx.clearRect(0, 0, W, H);

var ox = W / 2 - 80, oy = H - 40;
var scaleX = 55, scaleY = 35;
var k = Math.max(0.1, ((H - my) / H) * 9 + 0.1);

function toScreen(x, y) {
  return { sx: ox + x * scaleX, sy: oy - y * scaleY };
}

// Grid
ctx.strokeStyle = 'rgba(255,255,255,0.06)';
ctx.lineWidth = 1;
for (var gx = -2; gx <= 5; gx++) {
  var gs = toScreen(gx, 0);
  ctx.beginPath(); ctx.moveTo(gs.sx, 0); ctx.lineTo(gs.sx, H); ctx.stroke();
}
for (var gy = 0; gy <= 9; gy += 2) {
  var gs2 = toScreen(0, gy);
  ctx.beginPath(); ctx.moveTo(0, gs2.sy); ctx.lineTo(W, gs2.sy); ctx.stroke();
}

// Axes
ctx.strokeStyle = 'rgba(255,255,255,0.3)';
ctx.lineWidth = 1.5;
ctx.beginPath(); ctx.moveTo(0, oy); ctx.lineTo(W, oy); ctx.stroke();
ctx.beginPath(); ctx.moveTo(ox, 0); ctx.lineTo(ox, H); ctx.stroke();

// Axis labels
ctx.fillStyle = 'rgba(255,255,255,0.4)';
ctx.font = '12px sans-serif';
for (var lx = -1; lx <= 4; lx++) {
  var ls = toScreen(lx, 0);
  ctx.fillText(lx, ls.sx - 4, oy + 16);
}
for (var ly = 2; ly <= 8; ly += 2) {
  var ls2 = toScreen(0, ly);
  ctx.fillText(ly, ox + 4, ls2.sy + 4);
}
ctx.fillText('x', W - 20, oy - 8);
ctx.fillText('y', ox + 8, 16);

// y=2^x
ctx.strokeStyle = '#4fc3f7';
ctx.lineWidth = 2.5;
ctx.beginPath();
var st = false;
for (var xi = -2; xi <= 5; xi += 0.03) {
  var yi = Math.pow(2, xi);
  if (yi > 10) { st = false; continue; }
  var s = toScreen(xi, yi);
  if (!st) { ctx.moveTo(s.sx, s.sy); st = true; } else ctx.lineTo(s.sx, s.sy);
}
ctx.stroke();
ctx.fillStyle = '#4fc3f7';
ctx.font = 'bold 13px sans-serif';
ctx.fillText('y = 2ˣ', toScreen(2.8, 8).sx, toScreen(2.8, 8).sy);

// Horizontal line y=k
var lineY = toScreen(0, k).sy;
ctx.strokeStyle = k > 0.5 ? '#ff8a65' : 'rgba(255,138,101,0.3)';
ctx.lineWidth = 2;
ctx.beginPath(); ctx.moveTo(0, lineY); ctx.lineTo(W, lineY); ctx.stroke();

// Label y=k
ctx.fillStyle = '#ff8a65';
ctx.font = 'bold 13px sans-serif';
ctx.fillText('y = ' + k.toFixed(2), W - 110, lineY - 8);

// Intersection point
if (k > 0) {
  var solX = Math.log2(k);
  var sPt = toScreen(solX, k);
  if (sPt.sx >= 0 && sPt.sx <= W) {
    // Vertical drop line
    ctx.strokeStyle = 'rgba(255,235,59,0.5)';
    ctx.lineWidth = 1;
    ctx.setLineDash([4,3]);
    ctx.beginPath(); ctx.moveTo(sPt.sx, oy); ctx.lineTo(sPt.sx, sPt.sy); ctx.stroke();
    ctx.setLineDash([]);
    // Point
    ctx.fillStyle = '#ffeb3b';
    ctx.beginPath(); ctx.arc(sPt.sx, sPt.sy, 7, 0, Math.PI*2); ctx.fill();
    ctx.strokeStyle = '#fff';
    ctx.lineWidth = 1.5;
    ctx.beginPath(); ctx.arc(sPt.sx, sPt.sy, 7, 0, Math.PI*2); ctx.stroke();
    // x label on axis
    ctx.fillStyle = '#ffeb3b';
    ctx.font = 'bold 13px sans-serif';
    ctx.fillText('x = ' + solX.toFixed(3), sPt.sx - 30, oy + 26);
  }
}

// Info panel
ctx.fillStyle = 'rgba(0,0,0,0.65)';
ctx.beginPath(); ctx.roundRect(10, 10, 260, 80, 8); ctx.fill();
ctx.fillStyle = '#ff8a65';
ctx.font = 'bold 14px monospace';
ctx.fillText('2ˣ = ' + k.toFixed(2), 18, 32);
if (k > 0) {
  var solX2 = Math.log2(k);
  ctx.fillStyle = '#ffeb3b';
  ctx.fillText('x = log₂(' + k.toFixed(2) + ')', 18, 54);
  ctx.fillStyle = 'rgba(255,255,255,0.7)';
  ctx.font = '12px sans-serif';
  ctx.fillText('x ≈ ' + solX2.toFixed(4), 18, 74);
}

requestAnimationFrame(loop);
}
loop();

対数の不等式

「底の大きさによって不等号の向きが変わる」——これが対数不等式の最重要ポイントです。

対数関数は $a > 1$ なら単調増加、 $0 < a < 1$ なら単調減少です。減少関数では「大きい方を入れると小さく出る」ので不等号が逆転します。

\log_a f(x) > \log_a g(x) \implies \begin{cases} f(x) > g(x) & (a > 1) \\ f(x) < g(x) & (0 < a < 1) \end{cases}

例

$\log_2 x > 3$ を解け。

$a = 2 > 1$ なので： $x > 2^3 = 8$ （かつ真数条件 $x > 0$ ）

解： $x > 8$

指数不等式

指数関数でも「底によって不等号の向きが変わる」——同じ原理です。

a^{f(x)} > a^{g(x)} \implies \begin{cases} f(x) > g(x) & (a > 1) \\ f(x) < g(x) & (0 < a < 1) \end{cases}

例

$\left(\dfrac{1}{2}\right)^x < 4$ を解け。

$\left(\dfrac{1}{2}\right)^x < \left(\dfrac{1}{2}\right)^{-2}$ （ $4 = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{-2}$ ）

底 $\dfrac{1}{2} < 1$ なので不等号が逆転： $x > -2$

練習問題

$9^x = 27$ を解け。
$\log_3(2x-1) = 2$ を解け（真数条件に注意）。
$\log_2 x + \log_2(x+2) = 3$ を解け。
$2^x < 16$ を解け。

解答

$3^{2x} = 3^3$ → $2x = 3$ → $x = \dfrac{3}{2}$
$2x-1 = 9$ → $x = 5$ （真数条件 $2x-1 > 0$ → $x > \dfrac{1}{2}$ 。 $x = 5$ は満たす）
$\log_2 x(x+2) = 3$ → $x(x+2) = 8$ → $x^2+2x-8=0$ → $(x+4)(x-2)=0$ 。 $x > 0, x+2 > 0$ より $x = 2$
$2^x < 2^4$ → $x < 4$

まとめ

方程式の型	解法
$a^{f(x)} = a^{g(x)}$	底をそろえて $f(x) = g(x)$
$a^x = k$	$x = \log_a k$
$\log_a f(x) = k$	$f(x) = a^k$ （真数条件確認）
不等式	底が $>1$ か $<1$ で不等号の向きが変わる

「真数条件の確認を忘れずに」——これが対数方程式・不等式を解くときの最重要ルールです。

次回は関数の合成と逆関数を学びます。「2つの関数を組み合わせて新しい関数を作る」という概念で、プログラムの関数と同じ考え方です。