三角関数のグラフ

三角関数のグラフの基本

ラジオやスピーカーから音が出るとき、空気の振動は「波」の形をしています。海の波、電気の交流、心拍計のグラフ——これらすべてが sinやcosが描く周期的な波の形です。三角関数のグラフを理解することで、「繰り返す現象」を数式で表せるようになります。

それぞれの基本的な性質を整理します。

$y = \sin x$

性質	値
周期	$2\pi$
振幅	$1$
値域	$-1 \leq y \leq 1$
零点	$x = n\pi$ （ $n$ は整数）

「周期が $2\pi$ 」とは、角度にして360°分進むと元の形に戻るということ——時計の針が1周したら同じ場所に戻るのと同じです。

$y = \cos x$

$\cos x = \sin\!\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right)$ なので、 $\sin$ グラフを左に $\dfrac{\pi}{2}$ だけ平行移動したものです。

「sinを90°だけ前にずらすとcos」——同じ形の波が少しだけタイミングをずらしているだけです。

$y = \tan x$

性質	値
周期	$\pi$
値域	すべての実数
漸近線	$x = \dfrac{\pi}{2} + n\pi$

tanは $\sin \div \cos$ なので、 $\cos = 0$ になる角度（90°、270°…）では分母がゼロになって定義できません——「割り算でゼロ割り禁止」のルールが生む「壁」です。

インタラクティブデモ：位相シフトを体感しよう

$y = A\sin(Bx + C)$ の形で、マウスを左右に動かすと位相 $C$ が変わります。青が $\sin$ 、緑が $\cos$ です。2つの波がどのような関係にあるかを観察してください——マウスをある位置に動かすと、青い波と緑の波がぴったり重なる瞬間があります。それが「sinとcosは90°ずれた同じ波」ということの視覚的な証拠です。

マウスを左右に動かすと sin 波の位相がシフトします

function loop() {
ctx.clearRect(0, 0, W, H);

var ox = W / 2, oy = H / 2 + 10;
var scaleX = 50, scaleY = 70;
var phase = (mx / W) * Math.PI * 2;

function toScreen(x, y) {
  return { sx: ox + x * scaleX, sy: oy - y * scaleY };
}

// Grid (pi intervals)
ctx.strokeStyle = 'rgba(255,255,255,0.07)';
ctx.lineWidth = 1;
var piStep = Math.PI;
for (var gi = -4; gi <= 4; gi++) {
  var gx = gi * piStep;
  var gs = toScreen(gx, 0);
  ctx.beginPath(); ctx.moveTo(gs.sx, 0); ctx.lineTo(gs.sx, H); ctx.stroke();
}
for (var gy = -1.5; gy <= 1.5; gy += 0.5) {
  var gs2 = toScreen(0, gy);
  ctx.beginPath(); ctx.moveTo(0, gs2.sy); ctx.lineTo(W, gs2.sy); ctx.stroke();
}

// Axes
ctx.strokeStyle = 'rgba(255,255,255,0.3)';
ctx.lineWidth = 1.5;
ctx.beginPath(); ctx.moveTo(0, oy); ctx.lineTo(W, oy); ctx.stroke();
ctx.beginPath(); ctx.moveTo(ox, 0); ctx.lineTo(ox, H); ctx.stroke();

// Pi labels on x-axis
ctx.fillStyle = 'rgba(255,255,255,0.45)';
ctx.font = '12px sans-serif';
var piLabels = [[-2, '-2π'], [-1, '-π'], [1, 'π'], [2, '2π']];
for (var li = 0; li < piLabels.length; li++) {
  var ls = toScreen(piLabels[li][0] * Math.PI, 0);
  ctx.fillText(piLabels[li][1], ls.sx - 8, oy + 16);
}
ctx.fillText('0', ox + 4, oy + 16);
ctx.fillText('1', ox + 4, toScreen(0, 1).sy - 2);
ctx.fillText('-1', ox + 4, toScreen(0, -1).sy + 12);

// cos curve (green, behind)
ctx.strokeStyle = 'rgba(102,187,106,0.6)';
ctx.lineWidth = 2;
ctx.beginPath();
var range = W / (2 * scaleX);
for (var xi = -range; xi <= range; xi += 0.03) {
  var yi = Math.cos(xi);
  var s = toScreen(xi, yi);
  if (xi === -range) ctx.moveTo(s.sx, s.sy); else ctx.lineTo(s.sx, s.sy);
}
ctx.stroke();

// sin curve with phase (blue)
ctx.strokeStyle = '#4fc3f7';
ctx.lineWidth = 2.5;
ctx.beginPath();
for (var xi2 = -range; xi2 <= range; xi2 += 0.03) {
  var yi2 = Math.sin(xi2 + phase);
  var s2 = toScreen(xi2, yi2);
  if (xi2 === -range) ctx.moveTo(s2.sx, s2.sy); else ctx.lineTo(s2.sx, s2.sy);
}
ctx.stroke();

// Phase indicator arrow
var phaseX = -phase;
var sPh = toScreen(phaseX, 0);
ctx.fillStyle = 'rgba(255,235,59,0.8)';
ctx.beginPath(); ctx.arc(sPh.sx, oy, 5, 0, Math.PI * 2); ctx.fill();
ctx.strokeStyle = '#ffeb3b';
ctx.lineWidth = 1.5;
ctx.setLineDash([4, 3]);
ctx.beginPath(); ctx.moveTo(sPh.sx, 0); ctx.lineTo(sPh.sx, H); ctx.stroke();
ctx.setLineDash([]);

// Info panel
ctx.fillStyle = 'rgba(0,0,0,0.65)';
ctx.beginPath(); ctx.roundRect(10, 10, 260, 80, 8); ctx.fill();
ctx.fillStyle = '#4fc3f7';
ctx.font = 'bold 13px monospace';
var phaseDeg = (phase * 180 / Math.PI).toFixed(1);
ctx.fillText('y = sin(x + ' + phaseDeg + '°)', 18, 34);
ctx.fillStyle = '#66bb6a';
ctx.font = '13px monospace';
ctx.fillText('y = cos(x)  [参照]', 18, 56);
ctx.fillStyle = 'rgba(255,235,59,0.9)';
ctx.font = '12px sans-serif';
ctx.fillText('位相シフト C = ' + phaseDeg + '°', 18, 76);

// Legend
ctx.fillStyle = 'rgba(0,0,0,0.5)';
ctx.beginPath(); ctx.roundRect(W - 160, H - 50, 148, 38, 6); ctx.fill();
ctx.fillStyle = '#4fc3f7'; ctx.font = '13px sans-serif';
ctx.fillText('— sin(x+C)', W - 150, H - 30);
ctx.fillStyle = '#66bb6a';
ctx.fillText('— cos(x)', W - 150, H - 14);

requestAnimationFrame(loop);
}
loop();

一般形のグラフ変換

実際の音や振動では「振幅が大きい（音が大きい）」「周期が短い（高音）」「タイミングがずれている（位相が違う）」など、いろいろなパターンがあります。これらを一つの式で表したのが：

y = A\sin(Bx + C) + D

パラメータ	意味	変化
$A$	振幅	縦方向の伸縮
$B$	角振動数	周期 $T = \dfrac{2\pi}{\lvert B \rvert}$
$C$	初期位相	横方向の移動（ $-C/B$ だけ平行移動）
$D$	直流成分	縦方向の移動

たとえば $A = 3$ なら波の高さが3倍、 $B = 2$ なら同じ幅に2回波が入る（周期が半分）、 $D = 1$ なら波全体が1だけ上にずれる——それぞれが独立した「つまみ」を回すようなイメージです。

$\tan$ 関数のグラフ

$y = \tan x$ は $x = \pm\dfrac{\pi}{2}, \pm\dfrac{3\pi}{2}, \ldots$ で定義されず、これらが漸近線になります。

グラフは各区間 $\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)$ で $-\infty$ から $+\infty$ へ単調増加します。

「ハシゴを上から下まで全部通る」ような形が、縦の壁（漸近線）で区切られながら繰り返されます——sinやcosのような「丸い波」とは全然違う、鋭いS字形の曲線です。

周期・振幅・位相のまとめ

例： $y = 3\sin\!\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right) + 1$

まず $B = 2$ 、 $C = -\dfrac{\pi}{3}$ と読み取り、一つひとつ確認します——「数字を読んで意味に変換する」作業です。

振幅： $|3| = 3$ （波の高さが3倍——最大値が4、最小値が-2）
周期： $T = \dfrac{2\pi}{2} = \pi$ （通常の半分の幅で1周する）
位相： $-\dfrac{\pi/3}{2} = -\dfrac{\pi}{6}$ （右に $\dfrac{\pi}{6}$ 移動——波の開始が少し遅れる）
中心線： $y = 1$ （波全体が1だけ上にずれている）

練習問題

$y = 2\sin 3x$ の振幅と周期を求めよ。
$y = \cos\!\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right)$ は $y = \cos x$ をどの向きに何だけ移動したグラフか。
$y = -\sin x$ のグラフを描け。（ $y = \sin x$ との関係を述べよ）

解答

振幅 $2$ 、周期 $\dfrac{2\pi}{3}$
右に $\dfrac{\pi}{4}$ 平行移動
$x$ 軸に関して対称な鏡像（折り返したグラフ）

まとめ

$\sin, \cos$ の周期は $2\pi$ 、振幅は $1$ ——「360°で1回転して戻ってくる」
$\tan$ の周期は $\pi$ 、漸近線あり——「sinをcosで割るから、cosがゼロの場所で壁ができる」
$y = A\sin(Bx+C)+D$ で4つのパラメータが形を決める——「振幅・周期・タイミング・高さの4つのつまみ」
$\cos\theta = \sin\!\left(\theta + \dfrac{\pi}{2}\right)$ ——「cosはsinを90°前倒しにしたもの」

次回は加法定理を学びます。「 $\sin(A+B)$ はどう展開するのか？」——三角関数の計算で最も重要な公式の一つです。