二次関数と判別式

二次方程式の解の個数

想像してみてください——放物線を描いて「 $x$ 軸と何回交わるか？」を考えてみます。

谷型の放物線が $x$ 軸より上にある → 一度も交わらない
谷型の放物線が $x$ 軸にちょうど触れる → 1点で接する
谷型の放物線が $x$ 軸をまたぐ → 2点で交わる

この「何回交わるか」を解の公式から読み取ることができます。二次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解は解の公式から得られます：

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

根号の中の $b^2 - 4ac$ の符号が解の個数を決定します。

判別式 D

\boxed{D = b^2 - 4ac}

$D$ は「判別式（discriminant）」と呼ばれます。「解が何個あるかを判別する」ための値です。

$D$ の値	実数解の個数	放物線と x 軸
$D > 0$	2個（相異なる2実解）	2点で交わる
$D = 0$	1個（重解）	1点で接する
$D < 0$	0個（実数解なし）	交わらない

直感的に言えば： $D$ がプラスなら「解が2つある（ $x$ 軸と2回会う）」、ゼロなら「ちょうど接している（1回だけ会う）」、マイナスなら「浮いている（会わない）」です。

判別式の幾何学的意味

$D > 0$ ならば $\sqrt{D} > 0$ なので解は2つ、 $D = 0$ なら $\sqrt{D} = 0$ で解は1つ（重解）、 $D < 0$ なら $\sqrt{D}$ が虚数になり実数解はありません。

グラフで見ると、頂点の $y$ 座標 $q$ が

$a > 0$ の場合： $q < 0$ なら $D > 0$ 、 $q = 0$ なら $D = 0$ 、 $q > 0$ なら $D < 0$

と対応しています。つまり「谷の底が $x$ 軸より下（ $q < 0$ ）か上（ $q > 0$ ）か」で解の個数が変わるのです。

インタラクティブデモ：判別式と放物線

マウスを上下に動かすと、放物線が縦方向に移動します。判別式 $D$ の値と x 軸との交点数が変わる様子を観察してみましょう。

青い放物線： $D > 0$ （ $x$ 軸と2点で交わる）
緑の放物線： $D = 0$ （ $x$ 軸にちょうど接する）
赤い放物線： $D < 0$ （ $x$ 軸と交わらない）

マウスを上下に動かすと放物線が移動し、判別式 D が変わります

function loop() {
ctx.clearRect(0, 0, W, H);

var ox = W / 2, oy = H / 2;
var scale = 55;
var a = 1, b = -2;
var shift = ((my / H) * 6 - 3);
// D=0 になる shift = b²/(4a) = 1 の近傍でスナップ
var snapAt = (b * b) / (4 * a);
if (Math.abs(shift - snapAt) < 0.18) shift = snapAt;
var c = shift;
var D = b * b - 4 * a * c;

function toScreen(x, y) {
  return { sx: ox + x * scale, sy: oy - y * scale };
}
function f(x) { return a * x * x + b * x + c; }

// Grid
ctx.strokeStyle = 'rgba(255,255,255,0.06)';
ctx.lineWidth = 1;
for (var gx = -6; gx <= 6; gx++) {
  var gs = toScreen(gx, 0);
  ctx.beginPath(); ctx.moveTo(gs.sx, 0); ctx.lineTo(gs.sx, H); ctx.stroke();
}
for (var gy = -4; gy <= 4; gy++) {
  var gs2 = toScreen(0, gy);
  ctx.beginPath(); ctx.moveTo(0, gs2.sy); ctx.lineTo(W, gs2.sy); ctx.stroke();
}

// Axes
ctx.strokeStyle = 'rgba(255,255,255,0.3)';
ctx.lineWidth = 1.5;
ctx.beginPath(); ctx.moveTo(0, oy); ctx.lineTo(W, oy); ctx.stroke();
ctx.beginPath(); ctx.moveTo(ox, 0); ctx.lineTo(ox, H); ctx.stroke();

// Parabola color by discriminant
var pColor = D > 0.05 ? '#4fc3f7' : (D < -0.05 ? '#ef5350' : '#66bb6a');
ctx.strokeStyle = pColor;
ctx.lineWidth = 2.5;
ctx.beginPath();
var started = false;
for (var xi = -6; xi <= 6; xi += 0.03) {
  var yi = f(xi);
  if (Math.abs(yi) > 6) { started = false; continue; }
  var s = toScreen(xi, yi);
  if (!started) { ctx.moveTo(s.sx, s.sy); started = true; }
  else ctx.lineTo(s.sx, s.sy);
}
ctx.stroke();

// Vertex
var vx = -b / (2 * a), vy = f(vx);
var vs = toScreen(vx, vy);
ctx.fillStyle = '#ffeb3b';
ctx.beginPath(); ctx.arc(vs.sx, vs.sy, 5, 0, Math.PI * 2); ctx.fill();

// Roots (if D >= 0)
if (D >= 0) {
  var sqrtD = Math.sqrt(D);
  var x1 = (-b + sqrtD) / (2 * a);
  var x2 = (-b - sqrtD) / (2 * a);
  var s1 = toScreen(x1, 0), s2 = toScreen(x2, 0);
  ctx.fillStyle = '#ff8a65';
  ctx.beginPath(); ctx.arc(s1.sx, s1.sy, 7, 0, Math.PI * 2); ctx.fill();
  if (Math.abs(x1 - x2) > 0.01) {
    ctx.beginPath(); ctx.arc(s2.sx, s2.sy, 7, 0, Math.PI * 2); ctx.fill();
  }
  ctx.fillStyle = 'rgba(255,138,101,0.9)';
  ctx.font = '12px sans-serif';
  ctx.fillText('x=' + x1.toFixed(2), s1.sx + 8, s1.sy - 10);
  if (Math.abs(x1 - x2) > 0.01) {
    ctx.fillText('x=' + x2.toFixed(2), s2.sx - 50, s2.sy - 10);
  }
}

// D indicator
var dLabel = D > 0.05 ? 'D > 0：2つの実数解' : (D < -0.05 ? 'D < 0：実数解なし' : 'D = 0：重解（接する）');
var dColor2 = D > 0.05 ? '#4fc3f7' : (D < -0.05 ? '#ef5350' : '#66bb6a');

ctx.fillStyle = 'rgba(0,0,0,0.6)';
ctx.beginPath(); ctx.roundRect(10, 10, 270, 90, 8); ctx.fill();
ctx.fillStyle = '#ffffffcc';
ctx.font = 'bold 13px monospace';
ctx.fillText('y = x² + (' + b + ')x + (' + c.toFixed(2) + ')', 18, 32);
ctx.fillStyle = dColor2;
ctx.font = 'bold 14px sans-serif';
ctx.fillText(dLabel, 18, 56);
ctx.fillStyle = 'rgba(255,255,255,0.7)';
ctx.font = '13px monospace';
ctx.fillText('D = b²-4ac = ' + D.toFixed(2), 18, 80);

// Legend bar
var barY = H - 24;
ctx.fillStyle = 'rgba(0,0,0,0.5)';
ctx.beginPath(); ctx.roundRect(10, barY - 16, W - 20, 28, 6); ctx.fill();
ctx.font = '12px sans-serif';
ctx.fillStyle = '#4fc3f7'; ctx.fillText('■ D>0: 2交点', 20, barY);
ctx.fillStyle = '#66bb6a'; ctx.fillText('■ D=0: 接する', 130, barY);
ctx.fillStyle = '#ef5350'; ctx.fillText('■ D<0: 交点なし', 250, barY);

requestAnimationFrame(loop);
}
loop();

解の公式と判別式の導出

「なぜ $D = b^2 - 4ac$ の符号で解の個数がわかるのか？」を確認しましょう。

$ax^2 + bx + c = 0$ を平方完成で解くと：

a\!\left(x + \frac{b}{2a}\right)^{\!2} = \frac{b^2 - 4ac}{4a}

\left(x + \frac{b}{2a}\right)^{\!2} = \frac{D}{4a^2}

「 $\square^2 =$ 何か」という形になりました。

右辺が正（ $D > 0$ ）：「 $\square^2 =$ 正の数」なので $\square = \pm$ （何か）の2つの解
右辺がゼロ（ $D = 0$ ）：「 $\square^2 = 0$ 」なので $\square = 0$ の1つの解（重解）
右辺が負（ $D < 0$ ）：「 $\square^2 =$ 負の数」は実数では不可能。実数解なし

実用的な判別式の使い方

判別式の最大の利点は「解を実際に計算しなくても、解の個数だけわかる」点です。

例：交点の個数を調べる

直線 $y = 2x + k$ と放物線 $y = x^2$ の交点の個数を調べよ（ $k$ はパラメータ）。

「交点の個数」を求めるには、2つの式を連立させ、解の個数を調べればよいです。

連立すると： $x^2 = 2x + k$ → $x^2 - 2x - k = 0$

D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-k) = 4 + 4k

$k > -1$ ： $D > 0$ → 2交点（直線が放物線を「切る」）
$k = -1$ ： $D = 0$ → 1交点（直線が放物線に「接する」）
$k < -1$ ： $D < 0$ → 交点なし（直線が放物線の下を通る）

練習問題

次の二次方程式の判別式 $D$ を求め、解の個数を答えよ。

$x^2 - 5x + 6 = 0$
$x^2 - 6x + 9 = 0$
$2x^2 + x + 1 = 0$
$x^2 - 4x + 3 = 0$

解答

$D = 25 - 24 = 1 > 0$ → 2実解（ $x = 2, 3$ ）
$D = 36 - 36 = 0$ → 重解（ $x = 3$ ）：ぴったり1点で接する
$D = 1 - 8 = -7 < 0$ → 実数解なし：放物線がx軸と交わらない
$D = 16 - 12 = 4 > 0$ → 2実解（ $x = 1, 3$ ）

まとめ

D = b^2 - 4ac \begin{cases} > 0 & \text{2つの異なる実数解（放物線がx軸を通り抜ける）}\\ = 0 & \text{重解（1つの実数解）（放物線がx軸にちょうど触れる）}\\ < 0 & \text{実数解なし（放物線がx軸と会わない）} \end{cases}

判別式は、解を直接求めずに「解が存在するかどうか」「何個あるか」だけを素早く調べる強力なツールです。受験問題でもグラフ問題でもよく登場します。