二次関数の最大・最小

区間における最大・最小

たとえば「ある商品の価格 $x$ 円（100円〜500円の範囲で）を変えたとき、売上 $y$ 円はどう変わるか？」という問いを考えてみましょう。価格の「範囲」が決まっているとき、売上が最大・最小になる価格はどこでしょうか？

これが二次関数の最大値・最小値を区間で求める問題の発想です。

二次関数 $y = a(x-p)^2 + q$ の最大値・最小値を求めるときは、定義域（区間）を必ず確認する必要があります。

考え方の基本は次の通りです：

定義域が実数全体 $(-\infty, +\infty)$ のとき
- $a > 0$ ：最小値 $q$ （ $x = p$ のとき）、最大値なし
- $a < 0$ ：最大値 $q$ （ $x = p$ のとき）、最小値なし
定義域が閉区間 $[\alpha, \beta]$ のとき → 頂点 $x = p$ が区間内か外かで場合分けが必要

場合分けの考え方

谷型（ $a > 0$ ）の放物線で考えましょう。谷の最も低い点が「定義域の範囲内にあるか、範囲外か」によって最小値の場所が変わります。

$y = a(x-p)^2 + q$ で $a > 0$ （下に凸）、定義域 $[\alpha, \beta]$ の場合：

最小値

頂点の位置	最小値をとる $x$
$\alpha \leq p \leq \beta$ （頂点が区間内）	$x = p$ 、最小値 $q$ （谷の底が範囲内にある）
$p < \alpha$ （頂点が区間左外）	$x = \alpha$ （谷の底が左に外れているので、左端が一番低い）
$p > \beta$ （頂点が区間右外）	$x = \beta$ （谷の底が右に外れているので、右端が一番低い）

最大値

下に凸では、谷の底（頂点）から最も遠い端点で最大値をとります。遠い端点ほど高く上がっているからです。

\text{最大値} = \max\!\bigl(f(\alpha),\; f(\beta)\bigr)

インタラクティブデモ：区間を動かして最大・最小を確認

マウスを左右に動かすと、区間の右端 $b$ が変わります。頂点が区間の内外に出るとき、最小値をとる点がどう変化するかを観察してください。赤い星が最小値点、黄色の星が最大値点です。

マウスを左右に動かすと区間の右端 b が変わります

function loop() {
ctx.clearRect(0, 0, W, H);

var ox = W / 2, oy = H / 2 + 40;
var scale = 55;
var a = 0.8, p = 0.5, q = -2;
var alpha = -2.0;
var beta = alpha + 0.5 + (mx / W) * 4.5;
if (beta <= alpha + 0.3) beta = alpha + 0.3;

function toScreen(x, y) {
  return { sx: ox + x * scale, sy: oy - y * scale };
}
function f(x) { return a * (x - p) * (x - p) + q; }

// Grid
ctx.strokeStyle = 'rgba(255,255,255,0.06)';
ctx.lineWidth = 1;
for (var gx = -6; gx <= 6; gx++) {
  var gs = toScreen(gx, 0);
  ctx.beginPath(); ctx.moveTo(gs.sx, 0); ctx.lineTo(gs.sx, H); ctx.stroke();
}
for (var gy = -3; gy <= 4; gy++) {
  var gs2 = toScreen(0, gy);
  ctx.beginPath(); ctx.moveTo(0, gs2.sy); ctx.lineTo(W, gs2.sy); ctx.stroke();
}

// Axes
ctx.strokeStyle = 'rgba(255,255,255,0.3)';
ctx.lineWidth = 1.5;
ctx.beginPath(); ctx.moveTo(0, oy); ctx.lineTo(W, oy); ctx.stroke();
ctx.beginPath(); ctx.moveTo(ox, 0); ctx.lineTo(ox, H); ctx.stroke();

// Full parabola (dim)
ctx.strokeStyle = 'rgba(79,195,247,0.2)';
ctx.lineWidth = 1.5;
ctx.beginPath();
var st = false;
for (var xi = -6; xi <= 6; xi += 0.03) {
  var yi = f(xi);
  if (Math.abs(yi) > 7) { st = false; continue; }
  var s = toScreen(xi, yi);
  if (!st) { ctx.moveTo(s.sx, s.sy); st = true; } else ctx.lineTo(s.sx, s.sy);
}
ctx.stroke();

// Parabola on interval (bright)
ctx.strokeStyle = '#4fc3f7';
ctx.lineWidth = 3;
ctx.beginPath();
var st2 = false;
for (var xi2 = alpha; xi2 <= beta; xi2 += 0.02) {
  var yi2 = f(xi2);
  var s2 = toScreen(xi2, yi2);
  if (!st2) { ctx.moveTo(s2.sx, s2.sy); st2 = true; } else ctx.lineTo(s2.sx, s2.sy);
}
ctx.stroke();

// Interval bracket on x-axis
var sa = toScreen(alpha, 0), sb = toScreen(beta, 0);
ctx.strokeStyle = '#81c784';
ctx.lineWidth = 3;
ctx.beginPath(); ctx.moveTo(sa.sx, oy - 10); ctx.lineTo(sa.sx, oy + 10); ctx.stroke();
ctx.beginPath(); ctx.moveTo(sb.sx, oy - 10); ctx.lineTo(sb.sx, oy + 10); ctx.stroke();
ctx.beginPath(); ctx.moveTo(sa.sx, oy); ctx.lineTo(sb.sx, oy); ctx.stroke();
ctx.fillStyle = '#81c784';
ctx.font = '13px sans-serif';
ctx.fillText('α=' + alpha.toFixed(1), sa.sx - 14, oy + 26);
ctx.fillText('β=' + beta.toFixed(2), sb.sx - 14, oy + 26);

// Min point
var xMin, yMin;
if (p >= alpha && p <= beta) {
  xMin = p; yMin = q;
} else if (p < alpha) {
  xMin = alpha; yMin = f(alpha);
} else {
  xMin = beta; yMin = f(beta);
}
// Max point
var yA = f(alpha), yB = f(beta);
var xMax = yA > yB ? alpha : beta;
var yMax = Math.max(yA, yB);

// Draw min star (red)
var sMin = toScreen(xMin, yMin);
ctx.fillStyle = '#ef5350';
ctx.font = '22px sans-serif';
ctx.fillText('★', sMin.sx - 11, sMin.sy + 8);
ctx.fillStyle = '#ef9a9a';
ctx.font = '12px sans-serif';
ctx.fillText('最小値 ' + yMin.toFixed(2), sMin.sx - 20, sMin.sy - 14);

// Draw max star (yellow)
var sMax = toScreen(xMax, yMax);
ctx.fillStyle = '#ffeb3b';
ctx.font = '22px sans-serif';
ctx.fillText('★', sMax.sx - 11, sMax.sy + 8);
ctx.fillStyle = '#fff176';
ctx.font = '12px sans-serif';
ctx.fillText('最大値 ' + yMax.toFixed(2), sMax.sx + 6, sMax.sy - 6);

// Vertex dot
var sv = toScreen(p, q);
ctx.fillStyle = 'rgba(255,255,255,0.5)';
ctx.beginPath(); ctx.arc(sv.sx, sv.sy, 4, 0, Math.PI * 2); ctx.fill();

// Info
ctx.fillStyle = 'rgba(0,0,0,0.6)';
ctx.beginPath(); ctx.roundRect(10, 10, 230, 80, 8); ctx.fill();
ctx.fillStyle = '#4fc3f7';
ctx.font = 'bold 13px monospace';
ctx.fillText('y = ' + a + '(x - ' + p + ')² + (' + q + ')', 18, 32);
ctx.fillStyle = 'rgba(255,255,255,0.7)';
ctx.font = '12px sans-serif';
ctx.fillText('区間: [' + alpha.toFixed(1) + ', ' + beta.toFixed(2) + ']', 18, 52);
var inside = p >= alpha && p <= beta;
ctx.fillStyle = inside ? '#a5d6a7' : '#ef9a9a';
ctx.fillText('頂点 x=' + p + ' は区間' + (inside ? '内' : '外'), 18, 72);

requestAnimationFrame(loop);
}
loop();

具体的な解法手順

例題

$y = x^2 - 4x + 1$ （ $0 \leq x \leq 5$ ）の最大値・最小値を求めよ。

手順①：平方完成

y = (x-2)^2 - 3

頂点 $(2, -3)$ 、下に凸（谷型）。「 $x = 2$ のとき一番低い」という形です。

手順②：頂点の区間チェック

$0 \leq 2 \leq 5$ なので頂点 $x = 2$ は区間 $[0, 5]$ の内側にあります。つまり「谷の底が見える」状態です。

手順③：最小値

谷の底が区間内にあるので、 $x = 2$ のとき最小値 $-3$ 。

手順④：最大値

谷型では端点が高くなります。両端を計算します：

$x = 0$ ： $y = 1$
$x = 5$ ： $y = 6$

遠い方（ $x = 5$ ）が高いので、最大値は $\mathbf{6}$ （ $x = 5$ のとき）。

頂点が区間外のケース

例題

$y = x^2 - 4x + 1$ （ $3 \leq x \leq 5$ ）の最小値を求めよ。

頂点 $x = 2$ は区間 $[3, 5]$ の左外にあります。谷の底が「左に外れている」ので、区間内で一番低い点は、谷の底に一番近い端点である $x = 3$ です。

下に凸なので、区間内では頂点に近い端点が最小：

$x = 3$ ： $y = 9 - 12 + 1 = -2$
$x = 5$ ： $y = 25 - 20 + 1 = 6$

よって最小値は $\mathbf{-2}$ （ $x = 3$ のとき）。

練習問題

$y = -x^2 + 6x - 5$ （ $1 \leq x \leq 4$ ）の最大値・最小値を求めよ。
$y = 2x^2 - 8x + 3$ （ $0 \leq x \leq 2$ ）の最大値・最小値を求めよ。
$y = x^2 + 2x - 8$ （ $-1 \leq x \leq 3$ ）の最大値・最小値を求めよ。

解答

$y = -(x-3)^2 + 4$ 。頂点 $(3,4)$ は区間 $[1,4]$ 内。最大値 $4$ （ $x=3$ ）、最小値 $-2$ （ $x=1$ ）
$y = 2(x-2)^2 - 5$ 。頂点 $x=2$ は区間右端。最小値 $-5$ （ $x=2$ ）、最大値 $3$ （ $x=0$ ）
$y = (x+1)^2 - 9$ 。頂点 $x=-1$ は左端。最小値 $-9$ （ $x=-1$ ）、最大値 $7$ （ $x=3$ ）

まとめ

状況	最小値の場所（ $a>0$ ）
頂点が区間内	頂点（谷の底）
頂点が区間左外	左端（谷の底に最も近い端）
頂点が区間右外	右端（谷の底に最も近い端）

最大値は常に「頂点から遠い方の端点」で得られます（ $a > 0$ の場合）。遠い端点ほど、谷の斜面をより多く上った場所にあるからです。