反復試行と二項定理

反復試行とは

「コインを10回投げたら、何回表が出るだろう？」——必ず5回ではありませんよね。3回のこともあれば7回のこともある。では「ちょうど5回出る確率」「3回以上出る確率」はどうやって計算するのでしょう。

この「同じ試行を何度も独立に繰り返す」ことを反復試行といいます。「前回の結果が次回に影響しない（独立）」のが大前提です。

典型例：

コインを n 回投げる
サイコロを n 回振る
製品を n 個抜き取り検査する

二項分布の導出

「成功確率が $p$ の試行を $n$ 回繰り返したとき、ちょうど $k$ 回成功する確率」を求めます。

Step 1：特定パターンの確率を計算する

たとえば5回中「成功・成功・失敗・成功・失敗（SSFSS）」という特定の順番で起きる確率は？各回は独立なので、単純に掛け算します——成功確率 $p$ をk回、失敗確率 $(1-p)$ を残り回数分だけ掛けるだけです：

$p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

Step 2：そのパターンが何通りあるかを数える

「5回のうちどの3回が成功か」——順番は関係なく「成功する回を選ぶ組み合わせ」は $C(n,k)$ 通りあります。

この2つを掛け合わせると：

$\boxed{P(X = k) = C(n,k)\,p^k\,(1-p)^{n-k}}$

これを二項分布の確率質量関数（PMF）といいます。 $X \sim B(n, p)$ と書きます。

確率の総和が1になる確認

「全部の確率を足したら1になる」——当然そうなるはずですが、計算で確認できます。ここで登場するのが二項定理です。

$a = p$ 、 $b = (1-p)$ と置いてみると：

$\sum_{k=0}^{n} P(X=k) = \sum_{k=0}^{n} C(n,k) p^k (1-p)^{n-k} = (p + (1-p))^n = 1^n = 1$

これが「二項定理」 $(a+b)^n = \sum_{k=0}^n C(n,k) a^k b^{n-k}$ そのものです！——「二項分布と二項定理は同じ構造をしている」ことが、名前の由来です。

二項分布バーチャートデモ

マウスを左右に動かして $p$ を変えながら、分布の形の変化を観察してください。p=0.5のとき山が真ん中に来て左右対称になり、pが小さいと山が左に、大きいと山が右に偏る様子を確認できます。

二項分布 B(10, p)：マウス左右でpを0.1〜0.9に変化、分布の偏りを確認

function fact(n) {
var f = 1;
for (var i = 2; i <= n; i++) f *= i;
return f;
}
function C(n, r) {
if (r < 0 || r > n) return 0;
return fact(n) / (fact(r) * fact(n - r));
}

function loop() {
ctx.clearRect(0, 0, W, H);

var n = 10;
var p = 0.05 + (mx / W) * 0.9;
p = Math.max(0.05, Math.min(0.95, p));

var probs = [];
var maxP = 0;
for (var k = 0; k <= n; k++) {
  var pk = C(n, k) * Math.pow(p, k) * Math.pow(1 - p, n - k);
  probs.push(pk);
  if (pk > maxP) maxP = pk;
}

var barW = 40;
var gap = (W - (n + 1) * barW) / (n + 2);
var barAreaY = 50;
var barAreaH = 220;

var modeK = 0;
for (var k = 0; k <= n; k++) {
  if (probs[k] > probs[modeK]) modeK = k;
}

for (var k = 0; k <= n; k++) {
  var bx = gap + k * (barW + gap);
  var bh = (probs[k] / maxP) * barAreaH;
  var by = barAreaY + barAreaH - bh;

  var hue = 220 - k * 20;
  ctx.fillStyle = k === modeK ? '#f59e0b' : '#3b82f6';
  ctx.fillRect(bx, by, barW, bh);

  ctx.fillStyle = '#e2e8f0';
  ctx.font = '11px monospace';
  ctx.textAlign = 'center';
  ctx.fillText('k=' + k, bx + barW / 2, barAreaY + barAreaH + 16);
  ctx.fillStyle = '#94a3b8';
  ctx.font = '10px monospace';
  ctx.fillText((probs[k] * 100).toFixed(1), bx + barW / 2, barAreaY + barAreaH + 30);
}

var mean = n * p;
var stddev = Math.sqrt(n * p * (1 - p));

ctx.fillStyle = '#e2e8f0';
ctx.font = 'bold 14px sans-serif';
ctx.textAlign = 'left';
ctx.fillText('B(n=10, p=' + p.toFixed(2) + ')', 20, 28);

ctx.fillStyle = '#94a3b8';
ctx.font = '13px monospace';
ctx.fillText('平均 np = ' + mean.toFixed(2), 20, 298);
ctx.fillText('標準偏差 = ' + stddev.toFixed(2), 220, 298);

requestAnimationFrame(loop);
}
loop();

数値例

例題： コインを10回投げて表が5回出る確率は？（ $p = 0.5$ ）

「ちょうど5回」という一つのパターンに固執しているので、実は思ったよりも確率は高くありません：

$P(X=5) = C(10,5) \times 0.5^5 \times 0.5^5 = 252 \times \frac{1}{1024} \approx 0.246$

約 24.6%——「半分くらい出てほしいのに4回に1回しかちょうど5回にならない」のが現実です。 $k=4,5,6$ の近くに確率が分散しているのです。

例題： 打率 0.3 の打者が4打数のとき、ちょうど2本ヒットになる確率は？

「4打席のうちどの2打席がヒットか」の組み合わせ $C(4,2)=6$ 通り × 各パターンの確率：

$P(X=2) = C(4,2) \times 0.3^2 \times 0.7^2 = 6 \times 0.09 \times 0.49 \approx 0.265$

二項分布の平均と分散

「n回やって成功確率pなら、平均何回成功するか？」——直感と一致する答えが出ます：

$X \sim B(n, p)$ のとき、

$E[X] = np$

$V[X] = np(1-p)$

$\sigma = \sqrt{np(1-p)}$

例： $n=100, p=0.3$ なら $E[X] = 30$ 、 $\sigma = \sqrt{21} \approx 4.58$

「100回やって平均30回成功、実際には25〜35回くらいの範囲に収まることが多い」——この $\sigma$ が「ばらつきの目安」になります。

累積二項分布

「k 回以下の成功」の確率（CDF）——「ちょうどk回」ではなく「k回以下」を知りたいときは足し算します：

$P(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} C(n,i)\,p^i\,(1-p)^{n-i}$

実用例： 打率 0.3 の打者が10打数で3本以上ヒットを打つ確率は？

「3本以上」を直接計算するより、「2本以下」を計算して1から引く余事象の戦略が楽です：

$P(X \geq 3) = 1 - P(X \leq 2) = 1 - [P(0)+P(1)+P(2)]$

$= 1 - [0.028 + 0.121 + 0.233] \approx 0.617$

打率3割の打者でも、10打数で3安打以上打てる確率は約62%——「打率」という数字が実際の打席でどう現れるかの現実感が掴めます。

まとめ

二項分布 $B(n,p)$ ：n回の独立な試行でk回成功する確率——「掛け算 × 組み合わせ数」の構造
$P(X=k) = C(n,k)\,p^k\,(1-p)^{n-k}$ （二項定理と同じ構造）
平均 $E[X] = np$ 、分散 $V[X] = np(1-p)$ ——「np回成功するのが平均」という直感と一致
$p = 0.5$ のとき左右対称、 $p < 0.5$ なら右に歪む、 $p > 0.5$ なら左に歪む——「成功しにくいほど少ない回数側に山ができる」

次回は確率変数と期待値——確率の「重み付き平均」という概念を深く掘り下げます。