独立な試行

独立とは何か

「昨日の天気は今日のサイコロに影響するか？」——影響しませんよね。「昨日雨だったから今日は6が出やすい」なんてことはない。このように「一方の結果が他方に全く影響しない」関係を独立といいます。

2つの事象 A, B が独立（independent）であるとは、A が起こったかどうかが B の確率に全く影響を与えないことをいう。

数学的な定義：

$A \text{ と } B \text{ が独立} \iff P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

条件付き確率で言い換えると： $P(B \mid A) = P(B)$ （Aの情報があってもBの確率は変わらない）

「独立なら、単純に掛け算で求められる」——これが独立の最大の便利さです。

独立と排反の違い

混同しやすい2つの概念を整理します——「独立」と「排反」は全く別の概念です。

	独立	排反
意味	一方の結果が他方に影響しない	同時には起こらない
式	$P(A \cap B) = P(A)P(B)$	$P(A \cap B) = 0$
例	コイン1枚目と2枚目	サイコロで1と6が同時に出る

注意： 排反な事象は（両方の確率が0でない限り）独立ではありません——「同時に起こらない」というのは「片方が起きたら絶対もう片方は起きない」という強い影響関係（依存）です。「独立」とは全く逆の方向性です。

コイン2枚の独立性

コインを2枚投げるとき、標本空間は $\{HH, HT, TH, TT\}$ の4通り。

「1枚目の結果が2枚目に影響するか？」——もちろんしません。だから独立として掛け算が使えます：

$P(1\text{枚目が表}) = \frac{1}{2}$
$P(2\text{枚目が表}) = \frac{1}{2}$
$P(HH) = P(1\text{枚目が表}) \times P(2\text{枚目が表}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

2枚のコインは独立なので、乗法の単純な適用で計算できます。

コインシミュレーション

コイン2枚を100回投げるシミュレーション：クリックで開始、各結果が1/4に近づく

var results = { HH: 0, HT: 0, TH: 0, TT: 0 };
var total = 0;
var maxTrials = 0;
var flipping = false;
var flipQueue = 0;
var lastFlip = '';
var animT = 0;

var keys = ['HH', 'HT', 'TH', 'TT'];
var colors = ['#f59e0b', '#3b82f6', '#22c55e', '#ef4444'];

document.addEventListener('click', function() {
if (!flipping) {
  flipQueue = 100;
  flipping = true;
  maxTrials = total + 100;
}
});

function flip() {
var c1 = Math.random() < 0.5 ? 'H' : 'T';
var c2 = Math.random() < 0.5 ? 'H' : 'T';
var key = c1 + c2;
results[key]++;
total++;
lastFlip = key;
return key;
}

function loop() {
ctx.clearRect(0, 0, W, H);
animT += 0.05;

if (flipping && flipQueue > 0) {
  var batchSize = Math.min(5, flipQueue);
  for (var b = 0; b < batchSize; b++) {
    flip();
    flipQueue--;
  }
  if (flipQueue <= 0) flipping = false;
}

var barAreaX = 30, barAreaY = 60, barAreaH = 220, barAreaW = 380;
var barW = 70, gap = (barAreaW - 4 * barW) / 5;

for (var i = 0; i < keys.length; i++) {
  var k = keys[i];
  var count = results[k];
  var ratio = total > 0 ? count / total : 0;
  var bx = barAreaX + gap + i * (barW + gap);
  var bh = ratio * barAreaH;
  var by = barAreaY + barAreaH - bh;

  ctx.fillStyle = colors[i] + '33';
  ctx.fillRect(bx, barAreaY, barW, barAreaH);

  ctx.fillStyle = colors[i];
  ctx.fillRect(bx, by, barW, bh);

  ctx.strokeStyle = '#334155';
  ctx.lineWidth = 1;
  ctx.strokeRect(bx, barAreaY, barW, barAreaH);

  ctx.fillStyle = '#e2e8f0';
  ctx.font = 'bold 16px monospace';
  ctx.textAlign = 'center';
  ctx.fillText(k, bx + barW / 2, barAreaY + barAreaH + 20);

  ctx.fillStyle = colors[i];
  ctx.font = '13px monospace';
  ctx.fillText((ratio * 100).toFixed(1) + '%', bx + barW / 2, barAreaY + barAreaH + 38);
  ctx.fillStyle = '#64748b';
  ctx.font = '11px sans-serif';
  ctx.fillText('n=' + count, bx + barW / 2, barAreaY + barAreaH + 54);
}

var theorY = barAreaY + barAreaH * (1 - 0.25);
ctx.strokeStyle = '#fbbf24';
ctx.lineWidth = 2;
ctx.setLineDash([6, 3]);
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(barAreaX, theorY);
ctx.lineTo(barAreaX + barAreaW, theorY);
ctx.stroke();
ctx.setLineDash([]);
ctx.fillStyle = '#fbbf24';
ctx.font = '12px sans-serif';
ctx.textAlign = 'left';
ctx.fillText('理論値 25%', barAreaX + barAreaW + 4, theorY + 4);

ctx.fillStyle = '#e2e8f0';
ctx.font = 'bold 14px sans-serif';
ctx.textAlign = 'center';
ctx.fillText('総試行数: ' + total, W / 2, 28);

if (lastFlip) {
  var idx = keys.indexOf(lastFlip);
  ctx.fillStyle = colors[idx];
  ctx.font = 'bold 14px monospace';
  ctx.fillText('最後の結果: ' + lastFlip, W / 2, 45);
}

if (total === 0) {
  ctx.fillStyle = '#fbbf24';
  ctx.font = '14px sans-serif';
  ctx.textAlign = 'center';
  ctx.fillText('クリックで100回フリップ！', W / 2, 330);
} else {
  ctx.fillStyle = '#64748b';
  ctx.font = '12px sans-serif';
  ctx.fillText('クリックでさらに100回追加', W / 2, 330);
}

requestAnimationFrame(loop);
}
loop();

独立な試行の連鎖

複数の独立な試行を続けて行う場合、各結果の確率を掛け合わせるだけです——「掛け算のシンプルさ」が独立の恩恵です。

例：表が出る確率 1/2 のコインを3回投げて、3回連続表が出る確率は？

$P(HHH) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$

例：サイコロを4回振って、すべて偶数が出る確率は？

$P(\text{4回全部偶数}) = \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16}$

独立性の確認方法

実際のデータで A と B が独立かどうか確認するには——「掛け算の結果と実際の確率を比べる」：

$\frac{P(A \cap B)}{P(A) \cdot P(B)} \approx 1 \text{ なら独立}$

比が1から大きく外れている場合、A と B の間に関連性があることを示します。これが統計的独立性のテスト（ $\chi^2$ 検定）の基礎になります——「独立のはずなのにズレている」を測る方法です。

練習問題

問1. 表と裏の出やすさが等しいコインを5回投げる。すべて表の確率は？

$\left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{1}{32} \approx 3.1\%$

問2. あるプロダクションラインで製品が不良品になる確率は 2%。3個続けて良品になる確率は？

$0.98^3 \approx 0.9412 \approx 94.1\%$

問3. 問2で少なくとも1個が不良品になる確率は？——「余事象を使う」：

$1 - 0.98^3 \approx 0.0588 \approx 5.9\%$

まとめ

独立な事象では $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ ——「掛け算だけで求められる」
独立と排反は全く異なる概念——「同時に起きない（排反）」≠「影響しない（独立）」
独立な試行を繰り返す場合は確率を掛け合わせるだけ
シミュレーションを重ねると、HH・HT・TH・TT はそれぞれ 1/4 に収束する——「大数の法則」

次回は独立な試行の繰り返しを体系化した二項分布—— $P(X=k) = C(n,k)p^k(1-p)^{n-k}$ を学びます。