確率の加法定理・乗法定理

「または」と「かつ」

「明日雨が降る、または気温が30度を超える」「明日雨が降って、かつ気温が30度を超える」——同じ2つの条件でも「または」と「かつ」では意味が全然違います。確率でもこの違いを正確に扱う必要があります。

加法定理

「AまたはBが起こる確率」を、AとBそれぞれの確率から求めます。

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

なぜ引くのか？——「A組の生徒数 + B組の生徒数」を計算すると、両方に属する生徒（$A \cap B$）を2回足してしまいます。だから1回分を引く——これが加法定理の直感です。

特殊ケース：排反事象

A と B が同時には起こらない（$A \cap B = \emptyset$）とき——「どちらも起こらない重なりがない」ので引かなくていい：

$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

例：サイコロで「1が出る」と「6が出る」は排反なので、$P(1 \cup 6) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$

ベン図インタラクティブデモ

var pA = 0.5, pB = 0.4, pAB = 0.2;

function loop() {
ctx.clearRect(0, 0, W, H);

pA = 0.2 + (mx / W) * 0.6;
pB = 0.4;
pAB = Math.min(pA, pB) * 0.4;

var cx = W / 2, cy = 160;
var r = 90;
var offset = 55;

var axc = cx - offset * 0.7;
var bxc = cx + offset * 0.7;

ctx.globalAlpha = 0.35;
ctx.fillStyle = '#3b82f6';
ctx.beginPath();
ctx.arc(axc, cy, r, 0, Math.PI * 2);
ctx.fill();

ctx.fillStyle = '#ef4444';
ctx.beginPath();
ctx.arc(bxc, cy, r, 0, Math.PI * 2);
ctx.fill();
ctx.globalAlpha = 1;

ctx.strokeStyle = '#3b82f6';
ctx.lineWidth = 2.5;
ctx.beginPath();
ctx.arc(axc, cy, r, 0, Math.PI * 2);
ctx.stroke();

ctx.strokeStyle = '#ef4444';
ctx.beginPath();
ctx.arc(bxc, cy, r, 0, Math.PI * 2);
ctx.stroke();

ctx.fillStyle = '#e2e8f0';
ctx.font = 'bold 22px sans-serif';
ctx.textAlign = 'center';
ctx.fillText('A', axc - 30, cy + 6);
ctx.fillText('B', bxc + 30, cy + 6);

var pAonly = pA - pAB;
var pBonly = pB - pAB;
var pAorB = pA + pB - pAB;

ctx.font = '12px monospace';
ctx.fillStyle = '#bfdbfe';
ctx.fillText(pAonly.toFixed(2), axc - 28, cy + 6);
ctx.fillStyle = '#fca5a5';
ctx.fillText(pBonly.toFixed(2), bxc + 28, cy + 6);
ctx.fillStyle = '#fff';
ctx.fillText(pAB.toFixed(2), (axc + bxc) / 2, cy + 6);

ctx.strokeStyle = '#334155';
ctx.lineWidth = 1.5;
ctx.strokeRect(cx - 140, cy - r - 20, 280, (r + 20) * 2);

var infoY = 295;
ctx.fillStyle = '#94a3b8';
ctx.font = '13px monospace';
ctx.textAlign = 'left';

var lines = [
  'P(A)     = ' + pA.toFixed(2),
  'P(B)     = ' + pB.toFixed(2),
  'P(A∩B)  = ' + pAB.toFixed(2),
  'P(A∪B)  = P(A)+P(B)-P(A∩B) = ' + pAorB.toFixed(2)
];

for (var i = 0; i < lines.length; i++) {
  ctx.fillStyle = i === 3 ? '#fbbf24' : '#94a3b8';
  ctx.fillText(lines[i], 30, infoY + i * 18);
}

ctx.fillStyle = '#64748b';
ctx.font = '12px sans-serif';
ctx.textAlign = 'center';
ctx.fillText('マウスを左右に動かすとP(A)が変化します', W / 2, 358);

requestAnimationFrame(loop);
}
loop();

乗法定理

「AかつBが起こる確率」——「Aが起こった後にBが起こる」という順番で考えます。

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)$

$P(B \mid A)$ は「Aが起こったという条件の下でBが起こる確率」（条件付き確率）です。「袋から赤玉を取り出した後、残った袋から再び赤玉を取る確率」——1回目の結果が2回目の状況を変えます。

独立な場合（AがBに影響しない）：

「コインを投げた結果は、次のコイン投げに影響しない」——こういうとき「独立」と言い、掛け算だけで求められます：

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

例題で理解する加法定理

例題：トランプから1枚引く

事象 A = ハートが出る（13枚） 事象 B = 絵札（J・Q・K）が出る（12枚）

$A \cap B$ = ハートの絵札（3枚）

「ハートの絵札は、ハートとしても絵札としてもカウントされてしまう」——だから引く：

$P(A) = \frac{13}{52},\quad P(B) = \frac{12}{52},\quad P(A \cap B) = \frac{3}{52}$

$P(A \cup B) = \frac{13}{52} + \frac{12}{52} - \frac{3}{52} = \frac{22}{52} = \frac{11}{26}$

例題で理解する乗法定理

例題：袋から玉を取り出す

袋の中に赤玉3個・白玉2個。1個ずつ続けて2個取り出すとき（元に戻さない）、2個とも赤の確率は？

$P(\text{1個目が赤}) = \frac{3}{5}$

$P(\text{2個目が赤} \mid \text{1個目が赤}) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

「1個目で赤を取り出したので、残りは赤2個・白2個になる」——状況が変わるので条件付き確率を使います。

$P(\text{2個とも赤}) = \frac{3}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{10}$

排反事象の利用

「少なくとも1回」系の問題は余事象で解くと楽です——「全部ダメな場合」だけ計算して1から引く戦略です。

例：コインを3回投げて、少なくとも1回表が出る確率は？

「全部裏」だけ計算して引く——「3回全部裏になる確率は $\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$」：

$P(\text{少なくとも1回表}) = 1 - P(\text{全部裏}) = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$

まとめ

• 加法定理：$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$——「重なりを引く」
• 排反のとき：$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$——「重なりがないので引かない」
• 乗法定理：$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)$——「順番に掛ける」
• 独立のとき：$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$——「互いに影響しないので単純に掛ける」
• 「少なくとも1回」は余事象 $1 - P(\text{1回も起きない})$ で計算——「補数で考える」

次回は条件付き確率とベイズの定理——「先に情報を得たとき確率はどう変わるか」を学びます。