場合の数と順列

場合の数とは

「コインを投げて表が出る確率は？」と聞かれたとき、まず「全部で何通りの結果があるか」を数える必要があります。コインを投げると「表」か「裏」の2通りですね。表になる場合は1通りなので確率は $1 \div 2 = \frac{1}{2}$ 。これが場合の数の考え方の出発点です。

確率・統計の世界では、「何通りあるか」を正確に数えることがすべての基礎になります。この第1回では、場合の数を体系的に数えるための道具——積の法則・階乗・順列——を学びます。

積の法則（掛け算の原理）

出来事Aがm通り、Aが起きた後に出来事Bがn通りあるとき、AとBを続けて行う方法は m × n 通り。

たとえば、朝の服装を選ぶとき：シャツが3色（赤・青・緑）、ズボンが2種類（白・黒）あるとします。どのシャツとズボンの組み合わせが選べるか？

「赤シャツ×白ズボン」「赤シャツ×黒ズボン」「青シャツ×白ズボン」……と書いていくと全部で6通り。これは $3 \times 2 = 6$ で求められます。

例：シャツが3色、ズボンが2種類あるとき、組み合わせは $3 \times 2 = 6$ 通り。

この「掛け算で数える」感覚が確率計算の根本です。

樹形図で積の法則を「見る」

下のデモは「3つの選択肢 × 2つの選択肢」の樹形図をアニメーション表示します。「スタート」から枝が3本出て、それぞれからさらに2本ずつ枝が出る——木の枝のように広がるので「樹形図」と呼びます。最終的な枝の本数が場合の数です。

積の法則の樹形図：3色 × 2種類 = 6通りが視覚的に展開される

var t = 0;
var choices1 = ['赤', '青', '緑'];
var choices2 = ['A', 'B'];
var colors1 = ['#ef4444', '#3b82f6', '#22c55e'];

function loop() {
ctx.clearRect(0, 0, W, H);
t += 0.012;

var progress = Math.min(1, t);
var rootX = 80, rootY = H / 2;
var mid1X = 220;
var endX = 420;

ctx.fillStyle = '#fbbf24';
ctx.beginPath();
ctx.arc(rootX, rootY, 10, 0, Math.PI * 2);
ctx.fill();
ctx.fillStyle = '#e2e8f0';
ctx.font = 'bold 13px sans-serif';
ctx.textAlign = 'center';
ctx.fillText('スタート', rootX, rootY + 26);

for (var i = 0; i < choices1.length; i++) {
  var y1 = (i - 1) * 90 + rootY;
  var p1 = Math.min(1, progress * 3 - i * 0.5);
  if (p1 <= 0) continue;

  var cx1 = rootX + (mid1X - rootX) * p1;
  var cy1 = rootY + (y1 - rootY) * p1;

  ctx.strokeStyle = colors1[i];
  ctx.lineWidth = 2;
  ctx.beginPath();
  ctx.moveTo(rootX, rootY);
  ctx.lineTo(cx1, cy1);
  ctx.stroke();

  if (p1 >= 1) {
    ctx.fillStyle = colors1[i];
    ctx.beginPath();
    ctx.arc(mid1X, y1, 10, 0, Math.PI * 2);
    ctx.fill();
    ctx.fillStyle = '#fff';
    ctx.font = 'bold 12px sans-serif';
    ctx.textAlign = 'center';
    ctx.fillText(choices1[i], mid1X, y1 + 4);

    for (var j = 0; j < choices2.length; j++) {
      var y2 = y1 + (j - 0.5) * 50;
      var p2 = Math.min(1, (progress - 0.4) * 4 - i * 0.3 - j * 0.15);
      if (p2 <= 0) continue;
      var cx2 = mid1X + (endX - mid1X) * p2;
      var cy2 = y1 + (y2 - y1) * p2;

      ctx.strokeStyle = colors1[i];
      ctx.lineWidth = 1.5;
      ctx.setLineDash([4, 3]);
      ctx.beginPath();
      ctx.moveTo(mid1X, y1);
      ctx.lineTo(cx2, cy2);
      ctx.stroke();
      ctx.setLineDash([]);

      if (p2 >= 1) {
        ctx.fillStyle = colors1[i];
        ctx.beginPath();
        ctx.arc(endX, y2, 8, 0, Math.PI * 2);
        ctx.fill();
        ctx.fillStyle = '#fff';
        ctx.font = '11px sans-serif';
        ctx.fillText(choices1[i] + choices2[j], endX, y2 + 4);
      }
    }
  }
}

ctx.fillStyle = '#94a3b8';
ctx.font = '13px sans-serif';
ctx.textAlign = 'left';
ctx.fillText('3 × 2 = 6 通り', 460, H / 2 + 6);

if (t > 3) t = 0;
requestAnimationFrame(loop);
}
loop();

階乗 n!

階乗（ファクトリアル）とは、1からnまでの整数をすべて掛け合わせたものです。

n! = n × (n-1) × (n-2) × … × 2 × 1

n	n!
0	1（定義）
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
10	3,628,800

なぜ使う？ 異なるn個のものを一列に並べると $n!$ 通りあるからです。

たとえば「A, B, C, D, E」の5人を一列に並べる場合を数えてみましょう。

1番目の席：5人の誰でもOK → 5通り
2番目の席：残り4人から → 4通り
3番目の席：残り3人から → 3通り
4番目の席：残り2人から → 2通り
5番目の席：最後の1人 → 1通り

全部で $5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5! = 120$ 通りです。

順列 P(n, r)

順列（じゅんれつ）とは、n個の異なるものからr個を選んで順序を考えて並べる方法の数です。「1位・2位・3位を決める」ような「誰がどの順番か」が重要な選び方です。

$P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!} = n \times (n-1) \times \cdots \times (n-r+1)$

例：5人の中から3人を選んで1位・2位・3位を決める場合、

$P(5, 3) = 5 \times 4 \times 3 = 60 \text{ 通り}$

「最初の席は5人から選べる → 次の席は残り4人から → さらに次は3人から」という掛け算です。

P(5,3) をスロットで体感する

下のデモでは、5人の中から3つの席（1位・2位・3位）に順番に人が選ばれていきます。1位は5通り、2位は残り4通り、3位は残り3通り——合計で $5 \times 4 \times 3 = 60$ 通りです。

P(5,3) = 5×4×3 = 60：スロットが順番に埋まっていくアニメーション

var t = 0;
var names = ['Alice', 'Bob', 'Carol', 'Dave', 'Eve'];
var slotColors = ['#f59e0b', '#8b5cf6', '#06b6d4'];
var chosen = [-1, -1, -1];
var phase = 0;
var phaseT = 0;
var available = [0, 1, 2, 3, 4];

function reset() {
chosen = [-1, -1, -1];
available = [0, 1, 2, 3, 4];
phase = 0;
phaseT = 0;
}

function loop() {
ctx.clearRect(0, 0, W, H);
t += 0.016;
phaseT += 0.016;

if (phase < 3 && phaseT > 1.2) {
  var idx = Math.floor(Math.random() * available.length);
  chosen[phase] = available[idx];
  available.splice(idx, 1);
  phase++;
  phaseT = 0;
}

if (phase >= 3 && phaseT > 2.0) {
  reset();
}

ctx.fillStyle = '#e2e8f0';
ctx.font = 'bold 16px sans-serif';
ctx.textAlign = 'center';
ctx.fillText('P(5, 3) = 5 × 4 × 3 = 60 通り', W / 2, 36);

var labels = ['1位', '2位', '3位'];
var counts = [5, 4, 3];
for (var s = 0; s < 3; s++) {
  var sx = 100 + s * 150;
  var sy = 100;

  ctx.strokeStyle = slotColors[s];
  ctx.lineWidth = 3;
  ctx.strokeRect(sx - 50, sy, 100, 60);

  ctx.fillStyle = slotColors[s] + '33';
  ctx.fillRect(sx - 50, sy, 100, 60);

  ctx.fillStyle = slotColors[s];
  ctx.font = '13px sans-serif';
  ctx.textAlign = 'center';
  ctx.fillText(labels[s], sx, sy - 8);
  ctx.fillText(counts[s] + '通り', sx, sy + 80);

  if (s < phase) {
    ctx.fillStyle = '#fff';
    ctx.font = 'bold 18px sans-serif';
    ctx.fillText(names[chosen[s]], sx, sy + 36);
  } else if (s === phase) {
    var blink = Math.floor(phaseT * 4) % 2 === 0;
    if (blink) {
      ctx.fillStyle = '#ffffff88';
      ctx.font = '14px sans-serif';
      ctx.fillText('選択中...', sx, sy + 36);
    }
  }
}

ctx.fillStyle = '#94a3b8';
ctx.font = '13px sans-serif';
ctx.textAlign = 'center';

var prod = '';
var val = 1;
for (var k = 0; k < 3; k++) {
  if (k > 0) prod += ' × ';
  prod += (5 - k);
  val *= (5 - k);
}
ctx.fillText(prod + ' = ' + val, W / 2, 240);

ctx.fillStyle = '#64748b';
ctx.font = '12px sans-serif';
ctx.fillText('（しばらくするとリセットされます）', W / 2, 270);

requestAnimationFrame(loop);
}
loop();

順列の公式：なぜ (n-r)! で割るのか

$P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$ の意味を考えましょう。

$n!$ は「n個全部を並べた場合の数」
しかし実際に並べるのは r 個だけなので、残りの (n-r) 個の並び方は無視する
無視したい並び方の数が $(n-r)!$ 通りなので、割る

直感的に言えば、「5人全員の並び方 $5!$ を求めてから、使わない残り2人の並び替えは区別しない（ $2! = 2$ で割る）」ということです。

具体的には：

$P(5,3) = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{120}{2} = 60$

練習問題

問1. 0〜9の10枚の数字カードから3枚を選んで3桁の数を作る。何通りあるか（先頭は0以外）？

先頭の選択：9通り（1〜9）、2桁目：9通り（0含む残り9枚）、3桁目：8通り $9 \times 9 \times 8 = 648$ 通り

問2. 男子4人・女子3人から3人を選んで一列に並べる。何通りあるか？

$P(7, 3) = 7 \times 6 \times 5 = 210$ 通り

まとめ

積の法則：「シャツ3種×ズボン2種＝6通り」のように、独立した選択の場合の数は掛け算で求める
階乗 n!：n個を全部並べる方法は $n \times (n-1) \times \cdots \times 1$ 。5人の並び方は $5! = 120$ 通り
順列 P(n,r)：「1位・2位・3位を決める」ような順序ありの選び方。 $\frac{n!}{(n-r)!}$
「スロットを順番に埋める」イメージが順列の直感——各スロットで選べる数が1つずつ減っていく

次回は、順序を考えない選び方——組み合わせ C(n,r)——を学びます。「誰が選ばれるか」だけが重要で「順番は関係ない」場面です。