不等式の表す領域

不等式が「領域」を作る

「国境線がある国を2つの領域に分けるように」——直線も座標平面を2つの部分に分けます。方程式は「線」を表しますが、不等式は「面の一方の側」を表します。

方程式 $ax + by + c = 0$ が直線を表すように、不等式 $ax + by + c < 0$ （または $> 0$ ）は直線の片側の領域を表します。

直感的な理解

直線 $y = x$ は平面を 2 つに分けます：

直線より上の領域： $y > x$ （つまり $y - x > 0$ ）——「y がxより大きい場所」
直線より下の領域： $y < x$ （つまり $y - x < 0$ ）——「y がxより小さい場所」

どちら側か迷ったら、原点 $(0, 0)$ を代入して確認するのが最速です——「原点は直線のどちら側か」を確認してから塗る方向を決めます。

基本的な領域

線形不等式（直線による領域）

$ax + by + c > 0$ ：直線 $ax + by + c = 0$ の一方の半平面

判定の手順：

境界の直線を描く（等号のとき）——「まず境界線を書く」
原点や簡単な点を代入して「どちら側か」を確認——「テスト点を使う」
不等式を満たす側を塗る——「テスト点が含まれる側が正解」

円不等式（円による領域）

$(x-a)^2 + (y-b)^2 < r^2$ ：円の内部——「距離が半径より小さい」から内側

$(x-a)^2 + (y-b)^2 > r^2$ ：円の外部——「距離が半径より大きい」から外側

インタラクティブ図解：領域の視覚化

マウスの x 位置で直線の傾き、y 位置で切片をコントロールします。2 つの直線で囲まれた共通領域がどう変わるかを確認しましょう。

マウスを動かして直線の位置を変える。2つの制約の共通領域（濃い色）に注目


var OX = 300, OY = 200, SC = 40;

function loop() {
ctx.clearRect(0, 0, W, H);

// 直線 1: y < slope1 * x + b1
var slope1 = (mx / W) * 3 - 1;
var b1 = (my / H) * 4 - 2;

// 直線 2: y > slope2 * x + b2 (固定傾き、切片も固定)
var slope2 = -0.8;
var b2 = 1.5;

// ピクセルレベルで領域を塗る
var imgData = ctx.createImageData(W, H);

for (var px = 0; px < W; px++) {
  for (var py = 0; py < H; py++) {
    var mathX = (px - OX) / SC;
    var mathY = (OY - py) / SC;

    var c1 = mathY < slope1 * mathX + b1; // 領域1
    var c2 = mathY > slope2 * mathX + b2; // 領域2
    var idx = (py * W + px) * 4;

    if (c1 && c2) {
      // 交差領域
      imgData.data[idx]   = 86;
      imgData.data[idx+1] = 211;
      imgData.data[idx+2] = 100;
      imgData.data[idx+3] = 50;
    } else if (c1) {
      imgData.data[idx]   = 88;
      imgData.data[idx+1] = 166;
      imgData.data[idx+2] = 255;
      imgData.data[idx+3] = 30;
    } else if (c2) {
      imgData.data[idx]   = 188;
      imgData.data[idx+1] = 140;
      imgData.data[idx+2] = 255;
      imgData.data[idx+3] = 30;
    }
  }
}
ctx.putImageData(imgData, 0, 0);

// グリッド
ctx.strokeStyle = '#161b22'; ctx.lineWidth = 1;
for (var gx = -7; gx <= 7; gx++) {
  ctx.beginPath(); ctx.moveTo(OX+gx*SC,0); ctx.lineTo(OX+gx*SC,H); ctx.stroke();
}
for (var gy = -5; gy <= 5; gy++) {
  ctx.beginPath(); ctx.moveTo(0,OY-gy*SC); ctx.lineTo(W,OY-gy*SC); ctx.stroke();
}
ctx.strokeStyle = '#30363d'; ctx.lineWidth = 1.5;
ctx.beginPath(); ctx.moveTo(0,OY); ctx.lineTo(W,OY); ctx.stroke();
ctx.beginPath(); ctx.moveTo(OX,0); ctx.lineTo(OX,H); ctx.stroke();
ctx.fillStyle = '#8b949e'; ctx.font = '12px sans-serif';
ctx.fillText('x', W-14, OY-8); ctx.fillText('y', OX+6, 14);

// 直線 1
var lx1s = -8, ly1s = slope1 * lx1s + b1;
var lx1e = 8, ly1e = slope1 * lx1e + b1;
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(OX + lx1s*SC, OY - ly1s*SC);
ctx.lineTo(OX + lx1e*SC, OY - ly1e*SC);
ctx.strokeStyle = '#58a6ff'; ctx.lineWidth = 2.5; ctx.stroke();
ctx.fillStyle = '#58a6ff'; ctx.font = 'bold 12px sans-serif';
ctx.fillText('① y < ' + slope1.toFixed(1) + 'x + ' + b1.toFixed(1), OX + lx1e*SC - 160, OY - ly1e*SC - 8);

// 直線 2
var lx2s = -8, ly2s = slope2 * lx2s + b2;
var lx2e = 8, ly2e = slope2 * lx2e + b2;
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(OX + lx2s*SC, OY - ly2s*SC);
ctx.lineTo(OX + lx2e*SC, OY - ly2e*SC);
ctx.strokeStyle = '#bc8cff'; ctx.lineWidth = 2.5; ctx.stroke();
ctx.fillStyle = '#bc8cff'; ctx.font = 'bold 12px sans-serif';
ctx.fillText('② y > ' + slope2.toFixed(1) + 'x + ' + b2.toFixed(1), OX + lx2e*SC - 160, OY - ly2e*SC + 18);

// 交点
// slope1 * x + b1 = slope2 * x + b2 → x(slope1-slope2) = b2-b1
if (Math.abs(slope1 - slope2) > 0.01) {
  var ix = (b2 - b1) / (slope1 - slope2);
  var iy = slope1 * ix + b1;
  if (Math.abs(ix) < 7 && Math.abs(iy) < 5) {
    ctx.beginPath(); ctx.arc(OX + ix*SC, OY - iy*SC, 6, 0, Math.PI*2);
    ctx.fillStyle = '#ffa657'; ctx.fill();
    ctx.fillStyle = '#ffa657'; ctx.font = '11px sans-serif';
    ctx.fillText('交点(' + ix.toFixed(1) + ',' + iy.toFixed(1) + ')', OX+ix*SC+8, OY-iy*SC-6);
  }
}

// 凡例パネル
ctx.fillStyle = '#0d1117e0';
ctx.fillRect(8, 8, 220, 95);
ctx.strokeStyle = '#30363d'; ctx.lineWidth = 1;
ctx.strokeRect(8, 8, 220, 95);

ctx.fillStyle = '#58a6ff80'; ctx.fillRect(16, 20, 14, 14);
ctx.fillStyle = '#8b949e'; ctx.font = '12px sans-serif';
ctx.fillText('①のみ', 34, 31);
ctx.fillStyle = '#bc8cff80'; ctx.fillRect(16, 40, 14, 14);
ctx.fillText('②のみ', 34, 51);
ctx.fillStyle = '#56d36480'; ctx.fillRect(16, 60, 14, 14);
ctx.fillStyle = '#56d364';
ctx.fillText('① かつ ②（共通領域）', 34, 71);
ctx.fillStyle = '#8b949e'; ctx.font = '11px sans-serif';
ctx.fillText('マウス: 傾き(横)/切片(縦)', 16, 90);

requestAnimationFrame(loop);
}
loop();

円不等式の領域

例

$x^2 + y^2 \leq 4$ （円の内部、境界含む）

この領域は半径 2 の円の内側すべて。境界（ $= 4$ ）の場合は点線でなく実線で描き、境界を含む。

$x^2 + y^2 > 9$ （円の外部）

この場合は半径 3 の円の外側——「地球の表面より遠い宇宙空間のようなもの」。

連立不等式と共通領域

複数の不等式を同時に満たす点の集合は共通領域（intersection）です——「全部の条件を同時に満たす場所」。

例題

次の連立不等式の表す領域を図示せよ：

\begin{cases} x + y \leq 3 \\ x - y \geq -1 \\ x \geq 0 \end{cases}

解法：

$x + y = 3$ （切片: $(0,3)$ , $(3,0)$ ）の下側——「原点を代入: 0+0=0≤3 → 原点を含む下側」
$x - y = -1$ 、つまり $y = x + 1$ （切片: $(0,1)$ , $(-1,0)$ ）の下側——「原点を代入: 0-0=0≥-1 → 原点を含む下側」
$y$ 軸の右側——「x≥0の意味そのまま」

各領域の共通部分が答えです。三角形または多角形になることが多いです。

線形計画法への応用

「工場で商品AとBを作る。原料が限られているとき、利益を最大化するにはどのくらい作れば良いか？」——これが線形計画法の典型的な問題設定です。「制約条件（不等式）で作られた領域内で、目的関数（線形式）を最大化・最小化する」手法です。

制約： $x \geq 0$ 、 $y \geq 0$ 、 $x + 2y \leq 10$ 、 $3x + y \leq 12$ 目的： $z = 2x + 3y$ の最大値を求めよ

解法の鍵： 実行可能領域（制約を満たす領域）の頂点で目的関数は最大・最小になります（線形計画法の基本定理）——「最適解は必ずどこかの頂点にある」という重要な定理です。

各制約式の等号で領域の境界を引く
頂点の座標を求める（連立方程式）
各頂点で $z$ を計算し、最大値を選ぶ

頂点を求めると $(0, 0)$ , $(4, 0)$ , $(2, 4)$ , $(0, 5)$ 。

頂点	$z = 2x + 3y$
$(0, 0)$	0
$(4, 0)$	8
$(2, 4)$	16
$(0, 5)$	15

最大値 $z = 16$ （点 $(2, 4)$ ）。

等高線（level curve）のイメージ

$z = 2x + 3y = k$ は傾き $-2/3$ の直線（ $k$ によって平行移動）。この直線を実行可能領域に重ねて、最も遠くまで到達できる頂点を探すイメージ——「等高線を上げていって、領域を出る直前の頂点が最大値の場所」です。

まとめ

不等式は座標平面の「片側の領域」を表す——「方程式が境界線、不等式がその片側」
判定は原点代入が簡単——「まず原点がどちら側かを確認する」
円不等式： $< r^2$ が内部、 $> r^2$ が外部——「距離が半径より小さいか大きいか」
複数の不等式の共通領域が線形計画法の「実行可能領域」になる
目的関数の最大・最小は実行可能領域の頂点で達成される——「最適解は必ず頂点にある」

次回からはベクトルの世界へ。大きさと向きをもつ量の代数的扱いを学びます。