数学

#08 ふれてみよう高校数学幾何と図形

軌跡の求め方

軌跡とは

「振り子が空気中を動くとき、振り子の先端が描く道すじ」——これが軌跡のイメージです。ある条件を満たしながら動く点が、どんな図形を描くかを調べるのが軌跡の問題です。

「点 P が条件 C を満たしながら動くとき、P が通る道すじ全体」を軌跡（locus）と言います。

条件 C は例えば：

「2 定点から等距離」→ 垂直二等分線
「1 定点から距離が一定」→ 円
「線分の中点」→ 何らかの直線や円弧
「2 定点からの距離の和が一定」→ 楕円

軌跡の問題は幾何の条件を代数の式に翻訳する訓練です——「日本語の条件を数式に書き換える」と考えると分かりやすいです。

軌跡を求める手順

ステップ 1： 求めたい点の座標を $(x, y)$ とおく——「答えの点に名前をつける」

ステップ 2： 問題の条件を $x, y$ の等式（または不等式）に翻訳する——「日本語を数式にする」

ステップ 3： 式を整理・変形して標準的な形（直線・円・放物線等）を特定する——「どんな図形かを見抜く」

ステップ 4： （重要！） $x, y$ の取りうる範囲を確認し、軌跡の一部かどうか確認する——「答えが正しい範囲か検証する」

典型パターン①：中点の軌跡

問題： 点 A $(2, 0)$ と、円 $x^2 + y^2 = 9$ 上の点 B の中点 M の軌跡を求めよ。

「B が円の上を動くとき、A と B の真ん中の点はどんな軌跡を描くか」——B が動くとMも動きます。

解法：

B の座標を $(b_x, b_y)$ とおく（ $b_x^2 + b_y^2 = 9$ ）。

M の座標は $\left(\frac{2 + b_x}{2}, \frac{0 + b_y}{2}\right) = (x, y)$ とおくと——「Mの座標をxとyで表すと」：

b_x = 2x - 2, \quad b_y = 2y

B は円上なので $(2x-2)^2 + (2y)^2 = 9$ ——「BがもとのCircle上にある」という条件を代入：

4(x-1)^2 + 4y^2 = 9

(x-1)^2 + y^2 = \frac{9}{4}

中心 $(1, 0)$ 、半径 $3/2$ の円が軌跡——「元の円を半径半分にして、AとBの中点の方向に移動した円」です。

インタラクティブ図解：軌跡の可視化

点 A を固定し、点 B が円上を動くとき、その中点 M が描く軌跡をリアルタイムで見てみましょう。

点 B が円上を動き、中点 M が軌跡を描く。軌跡が別の円になっていることを確認


var OX = 300, OY = 190, SC = 45;
var trail = [];
var t = 0;

function toS(x, y) { return [OX + x*SC, OY - y*SC]; }

function loop() {
ctx.clearRect(0, 0, W, H);
t += 0.025;

// グリッド
ctx.strokeStyle = '#161b22'; ctx.lineWidth = 1;
for (var gx = -6; gx <= 6; gx++) {
  ctx.beginPath(); ctx.moveTo(OX+gx*SC,0); ctx.lineTo(OX+gx*SC,H); ctx.stroke();
}
for (var gy = -4; gy <= 4; gy++) {
  ctx.beginPath(); ctx.moveTo(0,OY-gy*SC); ctx.lineTo(W,OY-gy*SC); ctx.stroke();
}
ctx.strokeStyle = '#30363d'; ctx.lineWidth = 1.5;
ctx.beginPath(); ctx.moveTo(0,OY); ctx.lineTo(W,OY); ctx.stroke();
ctx.beginPath(); ctx.moveTo(OX,0); ctx.lineTo(OX,H); ctx.stroke();
ctx.fillStyle = '#8b949e'; ctx.font = '12px sans-serif';
ctx.fillText('x', W-14, OY-8); ctx.fillText('y', OX+6, 14);

// 元の円 x²+y²=9 (r=3)
ctx.beginPath(); ctx.arc(OX, OY, 3*SC, 0, Math.PI*2);
ctx.strokeStyle = '#30363d'; ctx.lineWidth = 1.5; ctx.stroke();

// 点 A (2, 0)
var Ax = 2, Ay = 0;
var As = toS(Ax, Ay);
ctx.beginPath(); ctx.arc(As[0], As[1], 7, 0, Math.PI*2);
ctx.fillStyle = '#f0883e'; ctx.fill();
ctx.fillStyle = '#f0883e'; ctx.font = 'bold 13px sans-serif';
ctx.fillText('A(2, 0)', As[0]+10, As[1]-8);

// 点 B: 円上を動く
var Bx = 3 * Math.cos(t), By = 3 * Math.sin(t);
var Bs = toS(Bx, By);
ctx.beginPath(); ctx.arc(Bs[0], Bs[1], 6, 0, Math.PI*2);
ctx.fillStyle = '#58a6ff'; ctx.fill();
ctx.fillStyle = '#58a6ff'; ctx.font = 'bold 13px sans-serif';
ctx.fillText('B', Bs[0]+8, Bs[1]-6);

// 中点 M
var Mx = (Ax + Bx) / 2, My = (Ay + By) / 2;
var Ms = toS(Mx, My);

// 軌跡のトレイル
trail.push([Ms[0], Ms[1]]);
if (trail.length > 200) trail.shift();

for (var i = 1; i < trail.length; i++) {
  var alpha = i / trail.length;
  ctx.beginPath();
  ctx.moveTo(trail[i-1][0], trail[i-1][1]);
  ctx.lineTo(trail[i][0], trail[i][1]);
  ctx.strokeStyle = 'rgba(86, 211, 100, ' + alpha + ')';
  ctx.lineWidth = 2;
  ctx.stroke();
}

// 理論的な軌跡円: 中心(1,0), r=1.5
ctx.beginPath(); ctx.arc(toS(1,0)[0], toS(1,0)[1], 1.5*SC, 0, Math.PI*2);
ctx.strokeStyle = '#56d36440'; ctx.lineWidth = 1.5; ctx.setLineDash([5,3]);
ctx.stroke(); ctx.setLineDash([]);

// AB 線分
ctx.beginPath(); ctx.moveTo(As[0], As[1]); ctx.lineTo(Bs[0], Bs[1]);
ctx.strokeStyle = '#8b949e'; ctx.lineWidth = 1; ctx.setLineDash([3,3]);
ctx.stroke(); ctx.setLineDash([]);

// M
ctx.beginPath(); ctx.arc(Ms[0], Ms[1], 7, 0, Math.PI*2);
ctx.fillStyle = '#56d364'; ctx.fill();
ctx.fillStyle = '#56d364'; ctx.font = 'bold 13px sans-serif';
ctx.fillText('M', Ms[0]+8, Ms[1]-6);

// 情報パネル
ctx.fillStyle = '#0d1117e0';
ctx.fillRect(8, 8, 240, 100);
ctx.strokeStyle = '#30363d'; ctx.lineWidth = 1;
ctx.strokeRect(8, 8, 240, 100);

ctx.font = '12px monospace';
ctx.fillStyle = '#e6edf3';
ctx.fillText('B = (' + Bx.toFixed(2) + ', ' + By.toFixed(2) + ')', 16, 28);
ctx.fillStyle = '#56d364';
ctx.fillText('M = (' + Mx.toFixed(2) + ', ' + My.toFixed(2) + ')', 16, 48);
ctx.fillStyle = '#8b949e';
ctx.fillText('軌跡：(x-1)²+y²= 9/4', 16, 68);
ctx.fillStyle = '#79c0ff';
ctx.fillText('中心(1,0) 半径 3/2', 16, 88);

requestAnimationFrame(loop);
}
loop();

典型パターン②：等距離条件

問題： 定点 A $(3, 0)$ と定直線 $x = -3$ から等距離にある点 P の軌跡を求めよ。

「ある点と直線から等距離の点の集まり」——これは前回学んだ放物線の定義そのものです！

解法：

P $(x, y)$ とおく。A からの距離 = 直線 $x = -3$ からの距離より：

\sqrt{(x-3)^2 + y^2} = |x + 3|

両辺を 2 乗——「両辺を2乗してルートを外す」定番の手順：

(x-3)^2 + y^2 = (x+3)^2

x^2 - 6x + 9 + y^2 = x^2 + 6x + 9

y^2 = 12x

放物線 $y^2 = 12x$ （焦点 $(3, 0)$ 、準線 $x = -3$ ）——これは放物線の定義そのものです！

典型パターン③：比分点の軌跡

問題： 2 定点 A $(-2, 0)$ 、B $(4, 0)$ に対して $PA : PB = 2 : 1$ となる点 P の軌跡を求めよ。

「2点からの距離の比が一定」という条件——結果は「アポロニウスの円」と呼ばれます。

解法（アポロニウスの円）：

P $(x, y)$ とおく。 $PA : PB = 2 : 1$ なので $PA = 2PB$ ——「距離の比を等式にする」：

(x+2)^2 + y^2 = 4[(x-4)^2 + y^2]

x^2 + 4x + 4 + y^2 = 4x^2 - 32x + 64 + 4y^2

3x^2 - 36x + 3y^2 = -60

x^2 - 12x + y^2 = -20

(x-6)^2 + y^2 = 16

中心 $(6, 0)$ 、半径 $4$ の円（アポロニウスの円）。

よくある軌跡の結果まとめ

条件	軌跡
1 定点から一定距離	円
2 定点から等距離	垂直二等分線
2 定点からの距離の比が一定	円（アポロニウス）
2 定点からの距離の和が一定	楕円
2 定点からの距離の差の絶対値が一定	双曲線
1 定点と 1 定直線から等距離	放物線

注意点：範囲の確認

軌跡を求めたら必ず「点が取りうる範囲」を確認します——「式は正しくても、点が実際には到達しない場所がある」ことがあります。

例：直径 AB の両端 A $(0,0)$ 、B $(4,0)$ を使い、AB を直径とする円の円周上の点 P を求める問題では、 $\angle APB = 90°$ （タレスの定理）という条件から $x^2 - 4x + y^2 = 0$ （中心 $(2,0)$ 半径 $2$ の円）が得られますが、A と B 自身は含まれません——「A や B では $\angle APB$ が定義できないから」。

まとめ

軌跡 = 条件を満たす点 $(x, y)$ の集合を式で表したもの——「条件を満たす点の居場所」
手順：条件を $x, y$ の式に翻訳 → 整理 → 標準形に変形——「日本語→数式→図形名」
典型パターン（等距離・比・中点）をマスターすると多くの問題が解ける
範囲の確認を忘れずに（端点・除外点のチェック）——「正しい式でも範囲を間違えると答えが変わる」

次回は「不等式の表す領域」——方程式から不等式へと視点を広げます。