二次曲線——放物線・楕円・双曲線

円錐曲線とは

「アイスクリームのコーンを斜めに切ると、断面が楕円になる」——知っていましたか？円錐（コーン）を平面で切ると、切り方によって 4 種類の曲線が現れます：円・楕円・放物線・双曲線。これらをまとめて円錐曲線（conic sections）と呼びます。

数式の形はどれも「 $x$ と $y$ の二次方程式」——つまり二次曲線です。これらは宇宙の軌道、衛星アンテナ、冷却塔など、あらゆる場所で登場します。

放物線（Parabola）

定義

「焦点」と「準線」という2つの要素を使って定義します——「焦点と準線から等距離にある点の集まり」が放物線です。

焦点 $F$ と準線 $l$ からの距離が等しい点の軌跡。

y = ax^2 \quad (a \neq 0)

標準的な位置（頂点が原点、軸が $y$ 軸）での方程式で、

x^2 = 4py

と書くと焦点は $(0, p)$ 、準線は $y = -p$ です。

$a > 0$ （ $p > 0$ ）：上に開く——「お椀型」
$a < 0$ （ $p < 0$ ）：下に開く——「山型」
$|a|$ が大きいほど細い放物線——「急な坂道のような形」

楕円（Ellipse）

定義

「2本の画鋲に輪ゴムをかけて、鉛筆で引っ張りながら一周する」——これで楕円が描けます。2本の画鋲が「焦点」です。

2 定点（焦点 $F_1, F_2$ ）からの距離の和が一定の点の軌跡。

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a > b > 0)

長軸： $x$ 軸方向、長さ $2a$ ——「長い方向の直径」
短軸： $y$ 軸方向、長さ $2b$ ——「短い方向の直径」
焦点： $(\pm c, 0)$ 、ただし $c = \sqrt{a^2 - b^2}$
離心率： $e = c/a$ （ $0 < e < 1$ 、0 に近いほど円に近い）

$a = b = r$ のとき → 円 $x^2 + y^2 = r^2$ （楕円の特殊ケース）——「2つの焦点が一つに重なると円になる」

双曲線（Hyperbola）

定義

「2点からの距離の差が一定」——楕円が「和」だったのに対して、双曲線は「差」です。

2 定点（焦点 $F_1, F_2$ ）からの距離の差の絶対値が一定の点の軌跡。

\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1

頂点： $(\pm a, 0)$ ——「2本の枝がx軸上で最も内側に来る点」
焦点： $(\pm c, 0)$ 、ただし $c = \sqrt{a^2 + b^2}$
漸近線： $y = \pm \frac{b}{a} x$ （双曲線が近づく直線）——「双曲線が限りなく近づくが届かない線」
離心率： $e = c/a$ （ $e > 1$ ）

インタラクティブ図解：3 曲線を切り替える

マウスを左右に動かすとパラメータが変わります。パネル右のボタン（左側 1/3 = 放物線、中央 = 楕円、右側 1/3 = 双曲線）で曲線を切り替えられます。

左1/3=放物線、中1/3=楕円、右1/3=双曲線のゾーンにマウスを移動して切り替え


var OX = 300, OY = 200, SC = 40;
var t = 0;

function toS(x, y) { return [OX + x*SC, OY - y*SC]; }

function loop() {
ctx.clearRect(0, 0, W, H);
t += 0.02;

// 曲線選択
var zone = Math.floor(mx / W * 3);
if (zone < 0) zone = 0;
if (zone > 2) zone = 2;

// グリッド
ctx.strokeStyle = '#161b22'; ctx.lineWidth = 1;
for (var gx = -7; gx <= 7; gx++) {
  ctx.beginPath(); ctx.moveTo(OX+gx*SC,0); ctx.lineTo(OX+gx*SC,H); ctx.stroke();
}
for (var gy = -4; gy <= 5; gy++) {
  ctx.beginPath(); ctx.moveTo(0,OY-gy*SC); ctx.lineTo(W,OY-gy*SC); ctx.stroke();
}
ctx.strokeStyle = '#30363d'; ctx.lineWidth = 1.5;
ctx.beginPath(); ctx.moveTo(0,OY); ctx.lineTo(W,OY); ctx.stroke();
ctx.beginPath(); ctx.moveTo(OX,0); ctx.lineTo(OX,H); ctx.stroke();
ctx.fillStyle = '#8b949e'; ctx.font = '12px sans-serif';
ctx.fillText('x', W-14, OY-8); ctx.fillText('y', OX+6, 14);

var curveColor, label, eqLabel;

if (zone === 0) {
  // 放物線 y = x²
  curveColor = '#56d364';
  label = '放物線';
  eqLabel = 'y = x²';
  ctx.beginPath();
  var started = false;
  for (var xi = -3.5; xi <= 3.5; xi += 0.05) {
    var yi = xi * xi;
    var pt = toS(xi, yi);
    if (pt[1] < -20 || pt[1] > H+20) { started = false; continue; }
    if (!started) { ctx.moveTo(pt[0], pt[1]); started = true; }
    else ctx.lineTo(pt[0], pt[1]);
  }
  ctx.strokeStyle = curveColor; ctx.lineWidth = 2.5; ctx.stroke();

  // 焦点 (0, 1/4)
  var fp = toS(0, 0.25);
  ctx.beginPath(); ctx.arc(fp[0], fp[1], 5, 0, Math.PI*2);
  ctx.fillStyle = '#ffa657'; ctx.fill();
  ctx.fillStyle = '#ffa657'; ctx.font = '11px sans-serif';
  ctx.fillText('焦点F(0, 1/4)', fp[0]+8, fp[1]-6);

  // 準線 y = -1/4
  var lp = toS(-5, -0.25), lp2 = toS(5, -0.25);
  ctx.beginPath(); ctx.moveTo(lp[0], lp[1]); ctx.lineTo(lp2[0], lp2[1]);
  ctx.strokeStyle = '#ffa65780'; ctx.lineWidth = 1.5; ctx.setLineDash([4,3]);
  ctx.stroke(); ctx.setLineDash([]);
  ctx.fillStyle = '#ffa657'; ctx.font = '11px sans-serif';
  ctx.fillText('準線 y = -1/4', OX+8, lp[1]-4);

  // 動点
  var px = Math.cos(t) * 2.5;
  var py = px * px;
  var pp = toS(px, py);
  ctx.beginPath(); ctx.arc(pp[0], pp[1], 5, 0, Math.PI*2);
  ctx.fillStyle = '#f0883e'; ctx.fill();
  // 焦点への線
  ctx.beginPath(); ctx.moveTo(pp[0], pp[1]); ctx.lineTo(fp[0], fp[1]);
  ctx.strokeStyle = '#f0883e60'; ctx.lineWidth = 1; ctx.stroke();
  // 準線への垂線
  var lpp = toS(px, -0.25);
  ctx.beginPath(); ctx.moveTo(pp[0], pp[1]); ctx.lineTo(lpp[0], lpp[1]);
  ctx.strokeStyle = '#f0883e60'; ctx.lineWidth = 1; ctx.stroke();

} else if (zone === 1) {
  // 楕円 x²/9 + y²/4 = 1
  var ea = 3, eb = 2, ec = Math.sqrt(ea*ea - eb*eb);
  curveColor = '#58a6ff';
  label = '楕円';
  eqLabel = 'x²/9 + y²/4 = 1';
  ctx.beginPath();
  for (var ang = 0; ang <= Math.PI*2+0.05; ang += 0.05) {
    var ex = ea * Math.cos(ang), ey = eb * Math.sin(ang);
    var ep = toS(ex, ey);
    if (ang === 0) ctx.moveTo(ep[0], ep[1]); else ctx.lineTo(ep[0], ep[1]);
  }
  ctx.strokeStyle = curveColor; ctx.lineWidth = 2.5; ctx.stroke();
  ctx.fillStyle = curveColor + '0a'; ctx.fill();

  // 焦点
  var ef1 = toS(-ec, 0), ef2 = toS(ec, 0);
  [ef1, ef2].forEach(function(f) {
    ctx.beginPath(); ctx.arc(f[0], f[1], 5, 0, Math.PI*2);
    ctx.fillStyle = '#ffa657'; ctx.fill();
  });
  ctx.fillStyle = '#ffa657'; ctx.font = '11px sans-serif';
  ctx.fillText('F₁(-√5,0)', ef1[0]-60, ef1[1]-10);
  ctx.fillText('F₂(√5,0)', ef2[0]+4, ef2[1]-10);

  // 動点
  var et = t * 0.7;
  var epx = ea * Math.cos(et), epy = eb * Math.sin(et);
  var epp = toS(epx, epy);
  ctx.beginPath(); ctx.arc(epp[0], epp[1], 5, 0, Math.PI*2);
  ctx.fillStyle = '#f0883e'; ctx.fill();
  ctx.beginPath(); ctx.moveTo(epp[0], epp[1]); ctx.lineTo(ef1[0], ef1[1]);
  ctx.strokeStyle = '#f0883e60'; ctx.lineWidth = 1.5; ctx.stroke();
  ctx.beginPath(); ctx.moveTo(epp[0], epp[1]); ctx.lineTo(ef2[0], ef2[1]);
  ctx.strokeStyle = '#f0883e60'; ctx.lineWidth = 1.5; ctx.stroke();

  var d1 = Math.sqrt(Math.pow(epx+ec,2)+epy*epy);
  var d2 = Math.sqrt(Math.pow(epx-ec,2)+epy*epy);
  ctx.fillStyle = '#f0883e'; ctx.font = '11px monospace';
  ctx.fillText('d₁+d₂ = ' + (d1+d2).toFixed(2) + ' = 2a', 20, H-20);

} else {
  // 双曲線 x²/4 - y²/1 = 1
  var ha = 2, hb = 1, hc = Math.sqrt(ha*ha + hb*hb);
  curveColor = '#bc8cff';
  label = '双曲線';
  eqLabel = 'x²/4 - y² = 1';

  // 漸近線
  ctx.beginPath();
  var as1 = toS(-5, -5*hb/ha), as2 = toS(5, 5*hb/ha);
  ctx.moveTo(as1[0], as1[1]); ctx.lineTo(as2[0], as2[1]);
  ctx.strokeStyle = '#bc8cff40'; ctx.lineWidth = 1.5; ctx.setLineDash([6,4]);
  ctx.stroke();
  ctx.beginPath();
  as1 = toS(-5, 5*hb/ha); as2 = toS(5, -5*hb/ha);
  ctx.moveTo(as1[0], as1[1]); ctx.lineTo(as2[0], as2[1]);
  ctx.stroke(); ctx.setLineDash([]);

  // 双曲線
  for (var side = -1; side <= 1; side += 2) {
    ctx.beginPath();
    var hstarted = false;
    for (var hx = side * ha; hx * side <= 5; hx += side * 0.05) {
      var hy = Math.sqrt(hx*hx/ha/ha - 1) * hb;
      if (isNaN(hy)) continue;
      for (var hsign = -1; hsign <= 1; hsign += 2) {
        var hp = toS(hx, hy * hsign);
        // 上側のみ先に書く
        break;
      }
      var hp1 = toS(hx, hy), hp2 = toS(hx, -hy);
      if (!hstarted) { ctx.moveTo(hp1[0], hp1[1]); hstarted = true; }
      else ctx.lineTo(hp1[0], hp1[1]);
    }
    ctx.strokeStyle = curveColor; ctx.lineWidth = 2.5; ctx.stroke();
    ctx.beginPath(); hstarted = false;
    for (var hx2 = side * ha; hx2 * side <= 5; hx2 += side * 0.05) {
      var hy2 = Math.sqrt(Math.max(0, hx2*hx2/ha/ha - 1)) * hb;
      var hp3 = toS(hx2, -hy2);
      if (!hstarted) { ctx.moveTo(hp3[0], hp3[1]); hstarted = true; }
      else ctx.lineTo(hp3[0], hp3[1]);
    }
    ctx.strokeStyle = curveColor; ctx.lineWidth = 2.5; ctx.stroke();
  }

  // 焦点
  var hf1 = toS(-hc, 0), hf2 = toS(hc, 0);
  [hf1, hf2].forEach(function(f) {
    ctx.beginPath(); ctx.arc(f[0], f[1], 5, 0, Math.PI*2);
    ctx.fillStyle = '#ffa657'; ctx.fill();
  });
  ctx.fillStyle = '#ffa657'; ctx.font = '11px sans-serif';
  ctx.fillText('F₁(-√5,0)', hf1[0]-60, hf1[1]-10);
  ctx.fillText('F₂(√5,0)', hf2[0]+4, hf2[1]-10);
  ctx.fillStyle = '#bc8cff80'; ctx.font = '11px sans-serif';
  ctx.fillText('漸近線 y=±x/2', OX + 3*SC, OY - 1.5*SC);
}

// パネル
ctx.fillStyle = '#0d1117e0';
ctx.fillRect(8, 8, 220, 76);
ctx.strokeStyle = '#30363d'; ctx.lineWidth = 1;
ctx.strokeRect(8, 8, 220, 76);
ctx.font = 'bold 16px sans-serif';
ctx.fillStyle = curveColor;
ctx.fillText(label, 16, 32);
ctx.font = '13px monospace';
ctx.fillStyle = '#e6edf3';
ctx.fillText(eqLabel, 16, 54);
ctx.fillStyle = '#8b949e'; ctx.font = '11px sans-serif';
ctx.fillText('マウスで曲線切替（3ゾーン）', 16, 72);

requestAnimationFrame(loop);
}
loop();

3 曲線の共通点と違い

性質	放物線	楕円	双曲線
焦点の数	1	2	2
定義の距離条件	焦点と準線が等距離	焦点2つへの距離の和一定	焦点2つへの距離の差一定
離心率 $e$	$e = 1$	$0 < e < 1$	$e > 1$
漸近線	なし	なし	あり

離心率の統一的理解

実は 3 つの曲線すべてを「焦点と準線からの距離の比 = 離心率 $e$ 」という条件で統一できます——「e というパラメータ一つで三つの曲線を区別できる」という美しい統一性です：

\frac{\text{焦点からの距離}}{\text{準線からの距離}} = e

$e = 1$ ：放物線——「等距離だから放物線」
$e < 1$ ：楕円（ $e = 0$ は円）——「焦点に近い方が重視される」
$e > 1$ ：双曲線——「準線から遠い方が重視される」

楕円の面積

楕円 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ の面積は：

S = \pi ab

円 $\pi r^2$ の一般化です（ $a = b = r$ で一致）——「長軸の半分 × 短軸の半分 × π」という覚え方です。

双曲線の漸近線

$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ の漸近線 $y = \pm\frac{b}{a}x$ は、双曲線が近づく直線です——「双曲線の腕が限りなく近づくが決して届かない直線」。

直交双曲線（ $xy = k$ ）は $a = b$ で漸近線が $y = \pm x$ （ $45°$ ）という特殊ケースです——「反比例のグラフ $y=k/x$ が双曲線の一種」というのは知っていましたか？

まとめ

放物線 $y = ax^2$ ：焦点 + 準線から等距離の軌跡——「サテライトアンテナの断面形」
楕円 $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$ ：2 焦点への距離の和が一定——「惑星の軌道」
双曲線 $x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1$ ：2 焦点への距離の差の絶対値が一定——「双曲線航法」
離心率 $e$ によって 3 曲線が統一的に理解できる——「 $e=1$ が放物線の境界線」

次回は「軌跡」——条件を満たす点が描く図形——の求め方を学びます。