円の方程式

円とは何か（定義から始める）

「コンパスで円を描く」——中心に針を刺して、一定の長さのまま回転させます。「中心から同じ距離にある点の集まり」、それが円です。

この「中心から等距離」という条件をピタゴラスの定理で式にします。中心 $(a, b)$ 、半径 $r$ の円上の点 $(x, y)$ は、ピタゴラスの定理より：

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

これを円の標準形といいます。「中心からの距離が r」という条件そのものが式になっています。

標準形から一般形へ

標準形を展開すると——カッコを全部外すと：

x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2 = r^2

x^2 + y^2 - 2ax - 2by + (a^2 + b^2 - r^2) = 0

$D = -2a$ 、 $E = -2b$ 、 $F = a^2 + b^2 - r^2$ と置くと：

\boxed{x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0}

これを円の一般形といいます。「x²+y²の係数が同じで1」という特徴で、円であることが分かります。

一般形から標準形への変換（平方完成）

一般形が与えられたとき、平方完成で標準形に戻します——「バラバラになった式を元の形に戻す」操作です。

x^2 + Dx + y^2 + Ey + F = 0

\left(x + \frac{D}{2}\right)^2 - \frac{D^2}{4} + \left(y + \frac{E}{2}\right)^2 - \frac{E^2}{4} + F = 0

\left(x + \frac{D}{2}\right)^2 + \left(y + \frac{E}{2}\right)^2 = \frac{D^2 + E^2}{4} - F

よって中心 $\left(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}\right)$ 、半径 $r = \sqrt{\frac{D^2+E^2}{4} - F}$

$r^2 > 0$ のときのみ円として存在します。 $r^2 = 0$ は一点、 $r^2 < 0$ は実数解なし（虚円）——「半径がマイナスになる円は現実には存在しない」。

インタラクティブ図解：円の方程式リアルタイム表示

クリックで中心を移動、マウスを動かすと半径が変わります。標準形と一般形の係数がリアルタイムに更新されます。

クリックで中心を設定、マウスを動かして半径を変える


var OX = 300, OY = 200, SCALE = 40;
var centerX = 1, centerY = 1; // 数学座標
var clickX = OX + SCALE, clickY = OY - SCALE;

function toScreen(x, y) { return [OX + x * SCALE, OY - y * SCALE]; }
function toMath(sx, sy) { return [(sx - OX) / SCALE, (OY - sy) / SCALE]; }

function loop() {
ctx.clearRect(0, 0, W, H);

// クリックで中心更新
var cm = toMath(clickX, clickY);
// clickX/clickY はマウスクリックで更新されるが、ここではmx/myを使って疑似的に
// 実際には常にmxから距離計算
var mathC = toMath(mx, my);

// 半径 = マウスと中心の距離（画面座標）
var cx_s = OX + centerX * SCALE;
var cy_s = OY - centerY * SCALE;
var dr = Math.sqrt(Math.pow(mx - cx_s, 2) + Math.pow(my - cy_s, 2));
var r = dr / SCALE;
if (r < 0.3) r = 0.3;
if (r > 5) r = 5;

// グリッド
ctx.strokeStyle = '#161b22';
ctx.lineWidth = 1;
for (var gx = -7; gx <= 7; gx++) {
  ctx.beginPath(); ctx.moveTo(OX + gx*SCALE, 0); ctx.lineTo(OX + gx*SCALE, H); ctx.stroke();
}
for (var gy = -5; gy <= 5; gy++) {
  ctx.beginPath(); ctx.moveTo(0, OY - gy*SCALE); ctx.lineTo(W, OY - gy*SCALE); ctx.stroke();
}

// 軸
ctx.strokeStyle = '#30363d'; ctx.lineWidth = 1.5;
ctx.beginPath(); ctx.moveTo(0, OY); ctx.lineTo(W, OY); ctx.stroke();
ctx.beginPath(); ctx.moveTo(OX, 0); ctx.lineTo(OX, H); ctx.stroke();
ctx.fillStyle = '#8b949e'; ctx.font = '12px sans-serif';
ctx.fillText('x', W-14, OY-8); ctx.fillText('y', OX+6, 14);

// 円
var cxs = toScreen(centerX, centerY);
ctx.beginPath();
ctx.arc(cxs[0], cxs[1], r * SCALE, 0, Math.PI * 2);
ctx.strokeStyle = '#58a6ff';
ctx.lineWidth = 2.5;
ctx.stroke();
ctx.fillStyle = '#58a6ff08';
ctx.fill();

// 中心
ctx.beginPath();
ctx.arc(cxs[0], cxs[1], 5, 0, Math.PI * 2);
ctx.fillStyle = '#f0883e'; ctx.fill();
ctx.fillStyle = '#f0883e'; ctx.font = '12px sans-serif';
ctx.fillText('(' + centerX.toFixed(1) + ', ' + centerY.toFixed(1) + ')', cxs[0]+8, cxs[1]-8);

// 半径線
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(cxs[0], cxs[1]);
ctx.lineTo(mx, my);
ctx.strokeStyle = '#f0883e80';
ctx.lineWidth = 1.5;
ctx.setLineDash([4,3]); ctx.stroke(); ctx.setLineDash([]);

// マウス上の点（円上に投影）
var angle = Math.atan2(my - cxs[1], mx - cxs[0]);
var px = cxs[0] + r * SCALE * Math.cos(angle);
var py = cxs[1] + r * SCALE * Math.sin(angle);
ctx.beginPath(); ctx.arc(px, py, 4, 0, Math.PI*2);
ctx.fillStyle = '#79c0ff'; ctx.fill();

// 半径ラベル
ctx.fillStyle = '#f0883e'; ctx.font = '12px sans-serif';
ctx.fillText('r = ' + r.toFixed(2), (cxs[0]+mx)/2+6, (cxs[1]+my)/2-6);

// 方程式計算
var a = centerX, b = centerY;
var D = -2 * a, E = -2 * b, F = a*a + b*b - r*r;

// パネル
ctx.fillStyle = '#0d1117e0';
ctx.fillRect(8, 8, 280, 120);
ctx.strokeStyle = '#30363d'; ctx.lineWidth = 1;
ctx.strokeRect(8, 8, 280, 120);

ctx.font = 'bold 13px monospace';
ctx.fillStyle = '#e6edf3';
ctx.fillText('標準形:', 16, 30);
ctx.fillStyle = '#58a6ff';
ctx.fillText('(x-' + a.toFixed(1) + ')²+(y-' + b.toFixed(1) + ')²', 16, 50);
ctx.fillText('  = ' + (r*r).toFixed(2), 16, 68);
ctx.fillStyle = '#8b949e'; ctx.font = '11px monospace';
ctx.fillText('一般形:', 16, 88);
ctx.fillStyle = '#79c0ff'; ctx.font = '11px monospace';
ctx.fillText('x²+y²' + (D>=0?'+':'')+D.toFixed(2)+'x' + (E>=0?'+':'')+E.toFixed(2)+'y' + (F>=0?'+':'')+F.toFixed(2)+'=0', 16, 106);
ctx.fillStyle = '#56d364'; ctx.font = '11px monospace';
ctx.fillText('中心(' + a.toFixed(2)+','+b.toFixed(2)+')  r='+r.toFixed(2), 16, 122);

requestAnimationFrame(loop);
}
loop();

具体的な例題

例題 1：標準形を書く

中心 $(3, -2)$ 、半径 $4$ の円の方程式を求めよ。

「(x - 中心のx)² + (y - 中心のy)² = 半径²」に当てはめるだけ：

解：

(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 16

例題 2：一般形を標準形に変換

$x^2 + y^2 - 6x + 4y - 3 = 0$ の中心と半径を求めよ。

「xの項とyの項を別々にまとめて、それぞれ平方完成する」のが手順です：

解（平方完成）：

(x^2 - 6x) + (y^2 + 4y) = 3

(x - 3)^2 - 9 + (y + 2)^2 - 4 = 3

(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 16

中心 $(3, -2)$ 、半径 $4$

例題 3：3 点を通る円

3 点 A $(1, 0)$ 、B $(0, 1)$ 、C $(2, 2)$ を通る円の方程式を求めよ。

「3点を通る円は一意に決まる」——3点の座標を使って3つの方程式を作り、連立して解きます：

解：一般形 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ に 3 点を代入：

A $(1,0)$ : $1 + D + F = 0$
B $(0,1)$ : $1 + E + F = 0$
C $(2,2)$ : $8 + 2D + 2E + F = 0$

A と B より $D = E$ 。A より $F = -1 - D$ 。C に代入：

8 + 2D + 2D + (-1 - D) = 0 \Rightarrow 7 + 3D = 0 \Rightarrow D = -\frac{7}{3}

E = -\frac{7}{3}, \quad F = -1 + \frac{7}{3} = \frac{4}{3}

x^2 + y^2 - \frac{7}{3}x - \frac{7}{3}y + \frac{4}{3} = 0

両辺 3 倍： $3x^2 + 3y^2 - 7x - 7y + 4 = 0$

原点中心の円：最もシンプルな形

中心が原点 $(0, 0)$ のとき——「引く数がゼロだから何も変わらない」：

x^2 + y^2 = r^2

単位円は $x^2 + y^2 = 1$ （前回学んだ三角比の舞台！）——「半径1の円上の点の座標が $(cos\theta, sin\theta)$ 」でしたね。

まとめ

標準形 $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ ：中心・半径が一目瞭然——「コンパスの設定を式にした形」
一般形 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ ：展開した形——「x²+y²が見えたら円を疑う」
一般形 → 標準形：平方完成が鍵——「xの項、yの項をそれぞれまとめる」
3 点から円：一般形に代入して連立方程式——「3点あれば円は一意に決まる」

次回は「直線と円の位置関係」——交わる・接する・離れる——を判定する方法を学びます。