平均二乗誤差・MSE・RMSE へいきんにじょうごさ・えむえすいー・あーるえむえすいー

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MSE・RMSEとは

MSE（Mean Squared Error：平均二乗誤差）は、予測値と実際の値の差を2乗して平均した値です。

MSE = (1/n) × Σ(y_i - ŷ_i)²

RMSE（Root Mean Squared Error）は、MSEの平方根で、元の変数と同じ単位になります。

RMSE = √MSE = √[(1/n) × Σ(y_i - ŷ_i)²]

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MAEとの比較

比較項目	MAE	MSE/RMSE
外れ値への感度	低い（ロバスト）	高い（外れ値を強く罰則）
数学的扱い	微分が不連続	微分可能（最適化向き）
直感的解釈	しやすい	RMSEは解釈可能
単位	元と同じ	MSEは単位² / RMSEは元と同じ

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2乗する理由

2乗する効果：
  誤差 1 → 誤差² 1
  誤差 2 → 誤差² 4
  誤差 5 → 誤差² 25 （5倍の誤差が25倍の罰則）

→ 「大きく外れる予測を特に嫌う」損失関数
→ 微分しやすいので勾配降下法に使いやすい

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損失関数としての利用

MSEは回帰ニューラルネットワークの損失関数（学習時の目標）としても広く使われます。

import torch.nn as nn

criterion = nn.MSELoss()
loss = criterion(predictions, targets)

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歴史と背景

• 1805年：ルジャンドルが最小二乗法を発表（MSEの起源）
• 1809年：ガウスが正規分布と最小二乗法の関係を示す
• 現在：回帰評価と損失関数の両方で使われる基本指標

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関連用語

• 平均絶対誤差・MAE — MSEと対比される指標
• 決定係数・R² — 回帰評価の別の代表指標
• 損失関数 — MSEが学習時に使われる文脈
• 外れ値 — MSEが敏感に反応する要素
• 勾配降下法 — MSEを最小化する最適化手法