約数と倍数——整数の分解と構造

整除・約数・倍数

「12 個のチョコレートを何人かで同じ数ずつ分けたい」——このとき、余りなく分けられる人数が「12 の約数」です。1 人、2 人、3 人、4 人、6 人、12 人なら余りなく分けられる——これが「割り切れる」という関係です。

整数 $a, b$（$b \neq 0$）に対して、$a = b \times q$（$q$ は整数）となるとき、「$b$ は $a$ を割り切る」「$b$ は $a$ の約数（factor / divisor）」「$a$ は $b$ の倍数（multiple）」と言います。

記号：$b \mid a$（「$b$ が $a$ を割る」）

例：$3 \mid 12$、$4 \mid 24$、$5 \nmid 13$

約数の個数

正の整数 $n$ の正の約数の個数を $d(n)$ と書きます——「$n$ を余りなく割り切れる正の整数は何個あるか」：

• $d(1) = 1$
• $d(p) = 2$（$p$ が素数のとき）
• $d(12) = 6$（約数：1, 2, 3, 4, 6, 12）
• $d(p^k) = k + 1$

$n$ の約数を求めるには $1$ から $\sqrt{n}$ まで割り切れるか調べ、各約数 $d$ に対して $n/d$ もペアとして記録します——「$d$ が約数なら $n/d$ も必ず約数」だから $\sqrt{n}$ まで調べれば十分です。計算量 $O(\sqrt{n})$。

因数ペアの視覚化

任意の正の整数 $n$ は $n = a \times b$（$a \le b$）という長方形として表現できます——「縦 $a$、横 $b$ の長方形を、面積が $n$ になるように作る」。マウスを左右に動かして $1$ から $60$ の整数を選び、その因数ペアをすべての長方形として確認しましょう。

var n, factors, i, j, cols, rectW, rectH, ox, oy;

function getFactors(num) {
var result = [];
for (var d = 1; d * d <= num; d++) {
  if (num % d === 0) {
    result.push([d, num / d]);
  }
}
return result;
}

function loop() {
ctx.clearRect(0, 0, W, H);

n = Math.max(1, Math.min(60, Math.round((mx / W) * 59) + 1));
factors = getFactors(n);

ctx.fillStyle = '#e2e8f0';
ctx.font = 'bold 18px monospace';
ctx.textAlign = 'center';
ctx.fillText('n = ' + n + '  約数の個数: ' + (factors.length === 1 && factors[0][0] === factors[0][1] ? 1 : factors.length * 2 - (factors[factors.length-1][0] === factors[factors.length-1][1] ? 1 : 0)), W/2, 26);

// list factor pairs
ctx.font = '12px monospace';
ctx.textAlign = 'left';
ctx.fillStyle = '#94a3b8';
ctx.fillText('因数ペア:', 20, 50);
for (i = 0; i < factors.length; i++) {
  ctx.fillStyle = '#60a5fa';
  ctx.fillText(factors[i][0] + ' × ' + factors[i][1], 20 + i * 80, 68);
}

// draw rectangles
var maxFactor = Math.min(n, 12);
var scale = Math.floor(160 / maxFactor);
cols = Math.min(factors.length, 5);
ox = (W - cols * (maxFactor * scale + 20)) / 2;
oy = 90;

var colors = ['#3b82f6','#8b5cf6','#22c55e','#f97316','#ec4899','#14b8a6'];

for (i = 0; i < Math.min(factors.length, 5); i++) {
  var fa = factors[i][0];
  var fb = factors[i][1];
  var rw = Math.min(fa, maxFactor) * scale;
  var rh = Math.min(fb, maxFactor) * scale;
  var rx = ox + i * (maxFactor * scale + 20);
  var ry = oy + (maxFactor * scale - rh);

  ctx.fillStyle = colors[i % colors.length] + '55';
  ctx.fillRect(rx, ry, rw, rh);
  ctx.strokeStyle = colors[i % colors.length];
  ctx.lineWidth = 2;
  ctx.strokeRect(rx, ry, rw, rh);

  ctx.fillStyle = '#fff';
  ctx.font = 'bold 12px monospace';
  ctx.textAlign = 'center';
  ctx.fillText(fa + '×' + fb, rx + rw/2, ry + rh/2 + 4);
}

// divisibility rules hint
ctx.fillStyle = '#64748b';
ctx.font = '12px monospace';
ctx.textAlign = 'left';
var hints = [];
if (n % 2 === 0) hints.push('偶数');
if (n % 3 === 0) hints.push('3の倍数');
if (n % 5 === 0) hints.push('5の倍数');
if (hints.length > 0) {
  ctx.fillStyle = '#fbbf24';
  ctx.fillText(hints.join('・'), 20, 305);
}

requestAnimationFrame(loop);
}
loop();

整除の判定規則

「528 が 3 で割り切れるかを確かめるのに、528 ÷ 3 を計算しなくても——桁の数字を全部足して 3 の倍数かどうか見るだけでよい（5+2+8=15、15÷3=5 余りなし）」——いくつかの数の整除性は、全桁の計算をせずに手早く確認できます。

例：$n = 252$

• 末尾が $2$ → 2で割れる ✓
• 各桁の和：$2+5+2 = 9$ → 3で割れる ✓（かつ9でも割れる）
• 2と3の両方 → 6で割れる ✓

約数の総和・積

約数の総和

「$n$ のすべての約数を足し合わせると？」——素因数分解の形が分かっていれば、公式で一気に計算できます：

$n = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \cdots$ のとき：

$\sigma(n) = \prod_{i} (1 + p_i + p_i^2 + \cdots + p_i^{a_i}) = \prod_i \frac{p_i^{a_i+1}-1}{p_i-1}$

例：$\sigma(12) = \sigma(2^2 \cdot 3) = (1+2+4)(1+3) = 7 \times 4 = 28$

確認：$1+2+3+4+6+12 = 28$ ✓

完全数

「自分自身を除く約数の和がちょうど自分に等しい」——これほど自己充足した数を完全数といいます：

$\sigma(n) = 2n$、つまり「自分自身を除く約数の和が自分に等しい」。

• $6 = 1 + 2 + 3$ ✓
• $28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14$ ✓
• $496$、$8128$…

完全数が無限に存在するかどうかは、現在も未解決問題です！

倍数の性質

倍数の閉じた性質

「$a$ の倍数どうしを足しても引いても、$a$ の倍数のまま」——$a \mid m$ かつ $a \mid n$ ならば $a \mid (m+n)$ および $a \mid (m-n)$。

証明：$m = aq$、$n = ar$ とすると $m \pm n = a(q \pm r)$。

最小公倍数

「$a$ と $b$ の両方の倍数の中で、一番小さいもの」——$\text{lcm}(a, b)$ は $a$ の倍数かつ $b$ の倍数の中で最小のものです：

$\text{lcm}(a,b) = \frac{a \cdot b}{\gcd(a,b)}$

例：$\text{lcm}(4, 6) = \dfrac{24}{\gcd(4,6)} = \dfrac{24}{2} = 12$——「4 と 6 の最小公倍数は 12（4 の倍数でも 6 の倍数でもある最小の数）」。

まとめ

• 約数（divisor）：$b \mid a$、つまり $a = bq$ となる整数 $b$——「割り切れる数」
• 整除判定規則：2・3・5・9は桁の特徴で素早く判断できる——「全部計算しなくていい」
• 約数を求めるには $\sqrt{n}$ まで調べればよい（$O(\sqrt{n})$）——「$d$ が約数なら $n/d$ も約数」
• 完全数：約数の和が2倍になる特殊な数——「未解決の神秘」
• 最小公倍数：$\text{lcm}(a,b) = ab / \gcd(a,b)$——「最大公約数と最小公倍数はセットで覚える」

次回は最大公約数とユークリッド互除法——GCDを高速に求めるアルゴリズムを学びます。