数列の和の公式——Σ記号とべき乗の和

シグマ記号 Σ とは

たとえば、クラス30人のテストの合計点を表したいとします。 $a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_{30}$ と書くのは面倒ですよね。さらに100人、1000人になったら？

そこで数学者は省略記号を発明しました。シグマ記号（ $\Sigma$ 、ギリシャ文字のS。Sumの頭文字）を使うと、どんなに長い和もコンパクトに書けます。

$\sum_{k=1}^{n} a_k = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$

読み方：「 $k$ が $1$ から $n$ まで変化するときの $a_k$ の総和」。 $\Sigma$ の下に「始まり」、上に「終わり」、右に「何を足すか」を書く——それだけです。

Σ の基本性質

「2つの数列を足してから合計」しても「それぞれ合計してから足す」しても同じ結果になります。スーパーのレシートで「野菜の合計 + 肉の合計 = 全品目の合計」と同じ発想です。

Σ(aₖ + bₖ) = Σaₖ + Σbₖ   （線形性）
Σ c·aₖ = c · Σaₖ          （定数倍）
Σ c = c·n                  （定数の和）

公式1：Σk = n(n+1)/2（三角数）

「1から100まで全部足すといくつか？」——小学生のガウスが一瞬で答えたという有名な話があります。前回の等差数列の和の公式がそのまま使えます。

$\sum_{k=1}^{n} k = 1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$

この値は三角数と呼ばれます。 $n$ 段の三角形に点を並べると、ちょうどこの数になるためです。

証明（等差数列の和として）：初項 $1$ 、末項 $n$ 、項数 $n$ の等差数列の和なので $S_n = n(1+n)/2$ 。「順方向と逆方向を足すと全て $(n+1)$ になる」というガウスのトリックと同じ計算です。

$n = 5$ のとき： $1+2+3+4+5 = 15 = 5 \times 6 / 2$ ✓

三角数の視覚化

点を三角形状に並べると $\sum_{k=1}^{n} k$ の値が自然に現れます。1段目に1個、2段目に2個、3段目に3個……と積んでいくと、全部で「三角数」個の点になります。マウスを動かして $n$ を変えてみましょう。

三角数 Σk：点が三角形に並ぶ様子。マウスで n を変えよう

var n, total, row, col, dotR, ox, oy, spacing;

function loop() {
ctx.clearRect(0, 0, W, H);

n = Math.max(1, Math.min(15, Math.round((mx / W) * 14) + 1));
total = n * (n + 1) / 2;

dotR = Math.min(12, Math.floor(260 / (n * 1.8)));
spacing = dotR * 2.5;
ox = W / 2;
oy = 40;

var rowCount = 0;
for (row = 1; row <= n; row++) {
  var rowY = oy + (row - 1) * spacing;
  var rowStartX = ox - (row - 1) * spacing / 2;
  for (col = 0; col < row; col++) {
    var cx = rowStartX + col * spacing;
    var t = (rowCount / (total - 1 || 1));
    var red = Math.round(96 + t * 159);
    var grn = Math.round(165 - t * 35);
    var blu = Math.round(250 - t * 100);
    ctx.fillStyle = 'rgb(' + red + ',' + grn + ',' + blu + ')';
    ctx.beginPath();
    ctx.arc(cx, rowY, dotR, 0, Math.PI * 2);
    ctx.fill();
    rowCount++;
  }
  // row label
  ctx.fillStyle = '#94a3b8';
  ctx.font = '11px monospace';
  ctx.textAlign = 'right';
  ctx.fillText(row, ox - (row - 1) * spacing / 2 - dotR - 4, rowY + 4);
}

ctx.fillStyle = '#fbbf24';
ctx.font = '15px monospace';
ctx.textAlign = 'center';
ctx.fillText('n = ' + n + '  Σk = ' + n + '×' + (n+1) + '/2 = ' + total, W/2, 300);

requestAnimationFrame(loop);
}
loop();

公式2：Σk² = n(n+1)(2n+1)/6（正方数の和）

「 $k^2$ （k の二乗）」とは、一辺が $k$ の正方形の面積です。 $1^2 = 1$ 、 $2^2 = 4$ 、 $3^2 = 9$ ……と、正方形を1段ずつ大きくしていくイメージです。

これらの面積を全部足すと、積み重なった正方形の塔ができます——これが正方錐（四角錐）のような立体の体積に対応しています。

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

分母が「6」なのが少し覚えにくいですが、「 $n(n+1)$ は必ず偶数になるので、6で割り切れる」と覚えると安心です。

$n = 4$ のとき： $1 + 4 + 9 + 16 = 30 = 4 \times 5 \times 9 / 6$ ✓

Σk²：正方形を積み重ねた視覚化。マウスで n を変えよう

var n, i, squareSize, ox, oy, maxSize;

function loop() {
ctx.clearRect(0, 0, W, H);

n = Math.max(1, Math.min(10, Math.round((mx / W) * 9) + 1));
maxSize = n;

var total = n * (n + 1) * (2 * n + 1) / 6;
var scale = Math.min(18, Math.floor(240 / (n * 1.5)));
ox = W / 2;
oy = 280;

// draw stacked squares side by side, isometric style
for (i = n; i >= 1; i--) {
  squareSize = i * scale;
  var xPos = ox - squareSize / 2;
  var stackH = 0;
  for (var j = 1; j <= n; j++) { if (j < i) stackH += j * scale; }
  var yPos = oy - i * scale - stackH;

  var t = (i - 1) / (n - 1 || 1);
  var red = Math.round(59 + t * 196);
  var grn = Math.round(130 + t * 70);
  var blu = Math.round(246 - t * 100);
  ctx.fillStyle = 'rgb(' + red + ',' + grn + ',' + blu + ')';
  ctx.fillRect(xPos, yPos, squareSize, squareSize);
  ctx.strokeStyle = '#0d1117';
  ctx.lineWidth = 1;
  ctx.strokeRect(xPos, yPos, squareSize, squareSize);

  ctx.fillStyle = '#fff';
  ctx.font = Math.max(9, scale - 2) + 'px monospace';
  ctx.textAlign = 'center';
  if (squareSize > 16) {
    ctx.fillText(i + '²=' + (i*i), ox, yPos + squareSize / 2 + 4);
  }
}

ctx.fillStyle = '#fbbf24';
ctx.font = '14px monospace';
ctx.textAlign = 'center';
ctx.fillText('n=' + n + '  Σk² = ' + n + '×' + (n+1) + '×' + (2*n+1) + '/6 = ' + total, W/2, 308);

requestAnimationFrame(loop);
}
loop();

公式3：Σk³ = [n(n+1)/2]²（三角数の平方）

ここからが最も驚くべき公式です——立方数（1³, 2³, 3³, …）の和が、自然数の和（1+2+3+…）の2乗にぴったり一致します！

$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 = \left(\sum_{k=1}^{n} k\right)^2$

「立方数の和 = 三角数の2乗」——一見なんの関係もなさそうな二つがイコールになるのが、数学の面白いところです。

$n = 3$ のとき： $1^3 + 2^3 + 3^3 = 1 + 8 + 27 = 36 = (1+2+3)^2 = 6^2$ ✓

実際にいくつか確認してみると信じやすくなります：

$n$	$\sum k^3$	$\left(\sum k\right)^2$
1	1	1
2	9	9
3	36	36
4	100	100
5	225	225

まとめ表

これらの公式を一覧にまとめます。どれも「毎回1つずつ計算するのではなく、 $n$ を代入するだけで答えが出る」のがポイントです——たとえばコンピュータのプログラムで「ループが $n$ 回回るとき、全部で何回の操作か」を解析するときに大活躍します。

公式	式	計算量
$\sum_{k=1}^n 1$	$n$	$O(1)$
$\sum_{k=1}^n k$	$\dfrac{n(n+1)}{2}$	$O(1)$
$\sum_{k=1}^n k^2$	$\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$	$O(1)$
$\sum_{k=1}^n k^3$	$\left[\dfrac{n(n+1)}{2}\right]^2$	$O(1)$

これらの公式はアルゴリズムの計算量解析（ループが $n$ 回回るとき、合計で何回の操作か）でも頻繁に使われます。

応用：Σ の分解

複雑な和も $\Sigma$ の線形性と上記の公式で計算できます。「展開してから、それぞれ公式を使う」という手順です。

$\sum_{k=1}^{10} k(k+1) = \sum_{k=1}^{10} k^2 + \sum_{k=1}^{10} k = \frac{10 \cdot 11 \cdot 21}{6} + \frac{10 \cdot 11}{2} = 385 + 55 = 440$

まとめ

Σ 記号：数列の和を「 $k$ が○から○まで動くとき」とコンパクトに書く記法。長い和を省略できる便利なツール
三角数： $\sum k = n(n+1)/2$ ——三角形に点を並べると自然に出てくる数。ガウスの計算トリックと同じ
正方数の和： $\sum k^2 = n(n+1)(2n+1)/6$ ——正方形（面積 $k^2$ ）を積み重ねた塔の総面積
立方数の和： $\sum k^3 = \left(\sum k\right)^2$ ——三角数の2乗という驚くべき美しい関係
これらは数学的帰納法で厳密に証明できる（第5回で扱います）

次回は漸化式——数列を「前の項から次の項を作る規則」で定義する方法を学びます。