等比数列——比が一定の列と無限級数

等比数列とは

たとえば、コロナウイルスが「1人が2人に感染させる」パターンで広がるとします。1人 → 2人 → 4人 → 8人 → 16人……と、毎回2倍になっていきます。これが等比数列の考え方です。

等比数列（とうひすうれつ）とは、隣り合う項の比が常に一定の数列です。この一定の比を公比（こうひ）と呼び、 $r$ で表します。

例： $1, 2, 4, 8, 16, \ldots$ （公比 $r = 2$ ）

毎年 $2$ 倍に増える投資、毎回半分になる薬の量、コンピュータのデータサイズ——等比数列は指数的な成長・減衰を記述する最も基本的な道具です。

一般項の公式

「 $n$ 番目の項はいくつか？」を求める公式です。

初項 $a_1$ 、公比 $r$ の等比数列の第 $n$ 項は：

aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹

考え方は、「最初の値（ $a_1$ ）を $(n-1)$ 回、 $r$ 倍する」です。

$n = 1$ ： $a_1 \cdot r^0 = a_1$ ✓ $n = 2$ ： $a_1 \cdot r^1 = a_1 r$ ✓ $n = 3$ ： $a_1 \cdot r^2 = a_1 r^2$ ✓

$n$	$a_n$ （ $a_1=1, r=2$ ）	$a_n$ （ $a_1=16, r=1/2$ ）
1	1	16
2	2	8
3	4	4
4	8	2
5	16	1

指数的成長を「見る」

等差数列の棒グラフが階段状だったのに対して、等比数列の棒グラフは爆発的に伸びる（または急速に縮む）形になります。

「等差は毎回足し算」「等比は毎回掛け算」——この違いが大きな差を生みます。

マウスを左右に動かして公比 $r$ を変えてみましょう。 $r > 1$ で成長、 $0 < r < 1$ で収束する様子が確認できます。

等比数列の棒グラフ：マウスを動かして公比 r を変えよう（左=0.5、右=3.0）

var a1, r, n, i, val, x, h, barW, maxVal;

function loop() {
ctx.clearRect(0, 0, W, H);

a1 = 1;
r = 0.5 + (mx / W) * 2.5;
n = 10;
barW = Math.floor((W - 60) / n) - 4;

var vals = [];
for (i = 0; i < n; i++) {
  vals.push(a1 * Math.pow(r, i));
}
maxVal = Math.max.apply(null, vals);
if (maxVal < 1) maxVal = 1;

for (i = 0; i < n; i++) {
  val = vals[i];
  h = Math.min(220, (val / maxVal) * 220);
  x = 30 + i * ((W - 60) / n);

  var t = i / (n - 1);
  var red = Math.round(59 + t * 220);
  var grn = Math.round(200 - t * 100);
  var blu = Math.round(246 - t * 150);
  ctx.fillStyle = 'rgb(' + red + ',' + grn + ',' + blu + ')';
  ctx.fillRect(x, 250 - h, barW, h);

  ctx.fillStyle = '#94a3b8';
  ctx.font = '11px monospace';
  ctx.textAlign = 'center';
  ctx.fillText(val < 100 ? val.toFixed(1) : val.toFixed(0), x + barW / 2, 264);
}

ctx.fillStyle = '#e2e8f0';
ctx.font = '14px monospace';
ctx.textAlign = 'left';
ctx.fillText('a₁ = 1  r = ' + r.toFixed(2), 20, 22);
ctx.fillText('aₙ = 1 × ' + r.toFixed(2) + 'ⁿ⁻¹', 20, 42);

ctx.fillStyle = r > 1 ? '#f87171' : '#34d399';
ctx.fillText(r > 1 ? '▲ 指数的成長（r > 1）' : '▼ 指数的減衰（0 < r < 1）', 20, 300);

requestAnimationFrame(loop);
}
loop();

等比数列の和の公式

$S_n = a_1 + a_1 r + a_1 r^2 + \cdots + a_1 r^{n-1}$

「両辺に $r$ をかけると、ほとんどの項が重なる」という発想で導きます。

両辺に $r$ をかけて引く「等比数列の和の導出」：

   Sₙ =  a₁ + a₁r + a₁r² + … + a₁rⁿ⁻¹
r·Sₙ =       a₁r + a₁r² + … + a₁rⁿ⁻¹ + a₁rⁿ
──────────────────────────────────────────────
(1-r)Sₙ = a₁ - a₁rⁿ = a₁(1 - rⁿ)

「 $r$ 倍してから引くと、中間の項がきれいに消えて、最初と最後だけ残る」——これが等比数列の和の鍵です。

したがって（ $r \neq 1$ のとき）：

Sₙ = a₁(1 - rⁿ) / (1 - r)

$r = 1$ のとき： $S_n = n a_1$ （全て同じ値なので $n$ 倍）

無限等比級数：|r| < 1 のとき

$|r| < 1$ なら $r^n \to 0$ （ $n \to \infty$ ）なので：

$S = \lim_{n \to \infty} S_n = \frac{a_1}{1 - r}$

直感的には：公比が $1$ より小さければ、各項が急速に $0$ に近づき、無限に足し続けても有限の値に収まります。

有名な例： $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \cdots = \dfrac{1/2}{1 - 1/2} = 1$

これは「1枚のケーキを半分ずつ切り続けると、無限に切っても元の1枚になる」という直感と一致します。

別の例えを使えば——1メートル進んで、また0.5メートル進んで、また0.25メートル進んで……と永遠に続けても、合計は2メートルを超えません。

収束の可視化

$a_1 = 1$ 、公比 $r$ （ $0 < r < 1$ ）のとき、 $S_n$ が $\dfrac{1}{1-r}$ に収束していく様子を観察しましょう。マウスを動かして $r$ を変えてみてください。 $r$ が小さいほど素早く収束し、 $r$ が1に近いほどゆっくり収束します。

|r|<1 のとき無限等比級数が収束する様子：マウスで r を変えよう

var a1, r, i, Sn, partial, limit;
var nSteps = 20;

function loop() {
ctx.clearRect(0, 0, W, H);

a1 = 1;
r = 0.1 + (mx / W) * 0.88;

limit = a1 / (1 - r);

var partials = [];
Sn = 0;
for (i = 0; i < nSteps; i++) {
  Sn += a1 * Math.pow(r, i);
  partials.push(Sn);
}

var maxY = limit * 1.1;
var ox = 40, oy = 260, pw = W - 80;

// limit line
ctx.strokeStyle = '#fbbf2466';
ctx.lineWidth = 1;
ctx.setLineDash([6, 4]);
var limitY = oy - (limit / maxY) * 240;
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(ox, limitY);
ctx.lineTo(ox + pw, limitY);
ctx.stroke();
ctx.setLineDash([]);
ctx.fillStyle = '#fbbf24';
ctx.font = '12px monospace';
ctx.textAlign = 'left';
ctx.fillText('S = ' + limit.toFixed(3), ox + pw + 4, limitY + 4);

// partial sums
ctx.strokeStyle = '#60a5fa';
ctx.lineWidth = 2;
ctx.beginPath();
for (i = 0; i < partials.length; i++) {
  var px = ox + i * (pw / (nSteps - 1));
  var py = oy - (partials[i] / maxY) * 240;
  if (i === 0) ctx.moveTo(px, py); else ctx.lineTo(px, py);
  ctx.fillStyle = '#60a5fa';
  ctx.beginPath();
  ctx.arc(px, py, 3, 0, Math.PI * 2);
  ctx.fill();
  ctx.beginPath();
  if (i > 0) { ctx.moveTo(ox + (i-1) * (pw/(nSteps-1)), oy - (partials[i-1]/maxY)*240); ctx.lineTo(px, py); }
}
ctx.stroke();

ctx.fillStyle = '#e2e8f0';
ctx.font = '14px monospace';
ctx.textAlign = 'left';
ctx.fillText('r = ' + r.toFixed(3) + '  収束値 1/(1-r) = ' + limit.toFixed(3), 20, 22);
ctx.fillText('S₂₀ = ' + partials[nSteps-1].toFixed(4), 20, 42);

requestAnimationFrame(loop);
}
loop();

等比数列の応用

複利計算

「利息にも利息がつく」複利は等比数列そのものです。元本 $P$ 、年利 $r$ 、 $n$ 年後の金額：

$A_n = P \cdot (1 + r)^n$

これは初項 $P$ 、公比 $(1+r)$ の等比数列です。たとえば年利 5% なら公比 1.05——毎年1.05倍になっていきます。

等比数列の応用例

場面	初項	公比
人口成長（年率2%）	現在人口	1.02
放射性崩壊（半減期ごと）	初期量	0.5
デジタルデータ（バイト→KB→MB）	1	1024

まとめ

等比数列：「毎回同じ数を掛ける」数列。等差数列（毎回足す）とは違います
一般項： $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$ ——「最初の値を $(n-1)$ 回 $r$ 倍する」
和の公式： $S_n = \dfrac{a_1(1-r^n)}{1-r}$ （ $r \neq 1$ ）——「 $r$ 倍してから引く」で導出
無限等比級数： $|r| < 1$ のとき $S = \dfrac{a_1}{1-r}$ に収束——ケーキを半分ずつ切っても全体は1枚
等比数列は複利・人口増加・放射線の減衰など、身近な「指数的変化」を表す

次回は数列の和のシグマ記法と各種公式を学びます。