負の数の表現——2の補数とマイナスの取り扱い
問題：0と1だけでマイナスをどう表す？
これまで学んできたビットとバイトは、すべて「0以上の整数（正の数）」を表すものでした。しかし現実の計算では、気温、残高、座標など、マイナスの値 が欠かせません。
コンピュータは0と1しか扱えません。では「-1」や「-100」をどうやって表現するのでしょうか？
いくつかのアイデアが考えられますが、現代のコンピュータはほぼすべて 2の補数（Two’s complement） という方式を採用しています。その理由も含めて、順を追って説明します。
アイデア1：符号ビットを使う
最もシンプルな発想は「最上位ビット（左端のビット）を符号のフラグにする」ことです。
0 で始まる → 正の数
1 で始まる → 負の数例えば8ビットで：
0 0001010 → +10
1 0001010 → -10この方式を 符号・絶対値表現 と言います。
しかしこの方法には問題があります。
問題1：ゼロが2種類できる
0 0000000 → +0
1 0000000 → -0「+0」と「-0」は同じ値のはずなのに、2通りの表現ができてしまいます。
問題2：足し算の回路が複雑になる
符号を判断してから計算を切り替える必要があり、回路設計が難しくなります。
アイデア2：2の補数方式
現代のコンピュータが採用している方式が 2の補数（Two’s complement） です。
この方式では、前回学んだ「オーバーフローで0に戻る」性質をうまく利用します。
核となるアイデア：-1 は「足すと0になる数」
-1の定義は「1を足したらゼロになる数」です。
1 + (-1) = 08ビットの世界で「足すと 00000000（= 0）になる数」を探してみましょう。
0 0 0 0 0 0 0 1 （= 1）
+ ? ? ? ? ? ? ? ? （= -1 のビット表現）
------------------
0 0 0 0 0 0 0 0 （= 0）← オーバーフローして0に戻る計算すると：
0 0 0 0 0 0 0 1
+ 1 1 1 1 1 1 1 1
------------------
1 0 0 0 0 0 0 0 0 ← 9ビット目があふれて 0 0 0 0 0 0 0 0つまり 11111111 = -1 です！
2の補数の作り方
「ある数のマイナス」を求める手順はシンプルです。
手順1：全ビットを反転する（ビット反転 / NOT演算）
手順2：1を足す
例：-10（マイナス10）を求める
まず 10 を2進数で書きます：
10 = 0 0 0 0 1 0 1 0ステップ1：ビットを全部反転する（0→1、1→0）
0 0 0 0 1 0 1 0
↓
1 1 1 1 0 1 0 1ステップ2：1を足す
1 1 1 1 0 1 0 1
+ 0 0 0 0 0 0 0 1
------------------
1 1 1 1 0 1 1 0結果：11110110 = -10 の2の補数表現
確認してみましょう。10 + (-10) = 0 になるはず：
0 0 0 0 1 0 1 0 （= 10）
+ 1 1 1 1 0 1 1 0 （= -10）
------------------
1 0 0 0 0 0 0 0 0 → あふれて 00000000 = 0 ✓2の補数がなぜ便利なのか
2の補数の最大の利点は 「足し算の回路をそのまま使える」 ことです。
- 符号付きの足し算も、符号なしの足し算も、同じ回路でOK
- 「+と−を判別してから計算を分ける」必要がない
- ハードウェアが単純で速くなる
例：5 + (-3) = 2 を2の補数で計算
-3 の2の補数表現：
3 = 00000011
反転 → 11111100
+1 → 11111101 ← これが -3
0 0 0 0 0 1 0 1 （= 5）
+ 1 1 1 1 1 1 0 1 （= -3）
------------------
1 0 0 0 0 0 1 0 → あふれを除くと 00000010 = 2 ✓8ビット符号付き整数の範囲
2の補数方式を使うと、8ビットで表せる値の範囲は次のようになります。
最小値：10000000 = -128
-1：11111111 = -1
0：00000000 = 0
+1：00000001 = +1
最大値：01111111 = +127| ビットパターン | 符号付き（signed） | 符号なし（unsigned） |
|---|---|---|
| 00000000 | 0 | 0 |
| 00000001 | +1 | 1 |
| 01111111 | +127 | 127 |
| 10000000 | -128 | 128 |
| 10000001 | -127 | 129 |
| 11111110 | -2 | 254 |
| 11111111 | -1 | 255 |
同じビットパターンでも、符号付き（signed）として読むか、符号なし（unsigned）として読むか で全く異なる値になることがわかります。
signed と unsigned の違い
プログラミング言語では、整数型を宣言するとき「符号付き（signed）か符号なし（unsigned）か」を指定できることがあります。
符号なし整数（unsigned）
- 0以上の正の整数だけを扱う
- 8ビットなら 0〜255
- メモリアドレス、色のRGB値など負にならない値に使う
符号付き整数（signed）
- 負の数も扱える
- 8ビットなら -128〜127
- 温度、座標の差分、カウントダウンなど負になりうる値に使う
ビット数ごとの範囲（2の補数方式）：
8ビット signed：-128 〜 127
8ビット unsigned：0 〜 255
16ビット signed：-32,768 〜 32,767
16ビット unsigned：0 〜 65,535
32ビット signed：約 -21億 〜 +21億
32ビット unsigned：0 〜 約 43億
64ビット signed：約 -922京 〜 +922京
64ビット unsigned：0 〜 約 1844京具体的な値で確認する
-1 はなぜ 11111111 なのか
1 の2進数：00000001
ビット反転：11111110
+1： 11111111
-1 = 11111111 ✓
確認：00000001 + 11111111
= 100000000 → 8ビットに収まらず 00000000 = 0 ✓-128 はなぜ 10000000 なのか
128 の2進数：10000000
ビット反転：01111111
+1： 10000000 ← もとに戻った！
-128 = 10000000 ✓この「反転して+1したらもとと同じになる」という現象が、-128 が 8ビット符号付き整数の最小値である理由です。-128 に対応する +128 は8ビット符号付きの範囲（-128〜127）に入らないため、対称ではありません。
まとめ
- 符号ビットだけではゼロが2種類できるなどの問題がある
- 2の補数方式：ビット反転して1を足すとマイナスの数が得られる
- -1 = 11111111 は「足すと0になる（オーバーフローして0に戻る）」から
- 2の補数の最大の利点：加算回路をそのまま使えてハードウェアが単純になる
- 8ビット符号付き整数の範囲は -128〜127（符号なしは 0〜255）
- 同じビットパターンでも signed / unsigned で解釈が異なる
これでシリーズ「バイナリデータ入門」の基礎編は完了です。ビットとバイトから始まり、2進数・16進数の表現、オーバーフロー、そして負の数の表現まで、コンピュータがデータを扱う根本的な仕組みを学びました。