万物は
揺れている

波動方程式 — 宇宙を記す一式

ギターの弦を弾いた瞬間を想像してください。弦の一点が上に持ち上がると、両隣の点に引っ張られて元に戻ろうとします。「曲がっているほど、強く引き戻される」——この単純なルールが波動方程式の正体です。

∂²y     ∂²y
——— = c²·———
∂t²     ∂x²

左辺: その点の「加速度」（どれだけ速く動き始めるか）
右辺: 波形の「曲率」× c²（どれだけ急カーブしているか）

右の図を見てください。↓ ピンク矢印 は「峰では下に引き戻される」、↑ 緑矢印 は「谷では上に引き戻される」を表しています。この復元力が連鎖して、波が空間を伝わっていきます。

音波・水面波・電磁波・地震波——見た目はまったく違うのに、すべて同じ方程式で記述されます。違いは c（波の速さ）と媒質だけです。

方程式を解くと、答えは「右向きの波 + 左向きの波」というシンプルな形になります。

y(x, t) = F(x − ct) + G(x + ct)
             ↑右へ速さc     ↑左へ速さc

ダランベールの公式——あらゆる波はこの2種類の進行波の組み合わせで説明できます。

解 — 進行波

波動方程式の最もシンプルな解は、正弦波が一方向へ進む「進行波」です。時間が経つにつれて波形全体がスライドし、その速さがちょうど c になります。

y(x, t) = A · sin(kx − ωt)

A : 振幅 — 波の高さ（音なら音量、光なら明るさ）
λ : 波長 — 山から山の距離（右図の ←λ→ 矢印）
k : 波数 = 2π/λ（1メートルに何波あるか）
ω : 角周波数 = 2πf（1秒に何回振動するか）

位相 kx − ωt が一定になるように x が増えれば、波形は右へ動きます。その速さは v = ω/k = c。

「波が進む」とは、波形の形は変わらず、ただ位置がスライドするだけです。媒質（弦や空気）は前後に振動しているだけで、水平には動いていません。

境界条件 — 反射と定在波

壁に固定された弦の端は動けません（y = 0）。波がこの固定端に衝突すると、この条件を守るために逆位相の反射波が生まれます。

右向き進行波（青）と左向き反射波（紫）を足し合わせると、加法定理の計算によって：

y = −2A · cos(kx) · sin(ωt)
         ↑空間だけの関数 × ↑時間だけの関数

x と t が分離されました。「どこが振動するか」は cos(kx) で決まり、「いつ最大になるか」は sin(ωt) で決まります。

この波は「進まない」——すべての点が一斉に同じリズムで振動します。cos(kx) = 0 になる点（節 ●）は永遠に静止し、ギターのフレットが押さえる音の倍音がまさにこの仕組みです。

重ね合わせ — 干渉

池に石を2つ落とすと、2つの波紋が広がって重なり、複雑な模様を作ります。これが干渉です。

波動方程式は線形なので「解の和もまた解」——2つの波は互いを変形させず、ただ値を足し合わせます。

山 + 山 = 2倍に大きな山（強め合い）
山 + 谷 = 打ち消してゼロ（弱め合い）

2つの波源から等距離の線上は常に強め合い、その差が半波長の線上は常に弱め合います。この縞模様が干渉パターンです。

右の図をクリックして波源を追加してみましょう（最大 6 点）。波源の数が増えるほど、パターンが複雑になります。

線形の例外 — ソリトン

通常の波は広がりながら崩れていきます。長い波長は速く、短い波長は遅く伝わる（分散）ため、時間とともに波形が壊れるのです。

ところが 1834年、スコットランドの技師ジョン・スコット・ラッセルは運河で不思議な現象を目撃しました。ボートが止まった瞬間、孤立した波が形を保ったまま何キロも進んでいった——これがソリトン（孤立波）の発見です。

媒質のわずかな非線形性が、ちょうど分散と釣り合って波形の崩壊を防ぎます。KdV 方程式のソリトン解は sech² 型。

右の図では速い波（高い・細い）が遅い波（低い・広い）に追いつき、衝突後も両者が完全に元の形ですり抜けます。これは線形の波には起こらない非線形の奇跡です。

弦を弾く

両端を固定した弦は、波動方程式にしたがって振動します。指で弦を引っ張ると波が伝わり、両端で反射して何度も重なり合います。

∂²u/∂t² = c² ∂²u/∂x²

波速を上げると波が速く伝わります。減衰を加えるとエネルギーが徐々に失われ、やがて弦は静止します。

右のキャンバスをクリック・ドラッグして弦を自由に弾いてみてください。