美しい
三角関数の
世界

三角形と角度の誕生

三角関数の歴史は古代エジプト・ギリシャにさかのぼる。ピラミッドを測り、星の位置を計算するために、人々は「角度と辺の比」を必要とした。

直角三角形において、角度 θ を持つ頂点から見た三辺の比は θ だけで決まる。この比に名をつけたのが三角比だ。

sin θ = 対辺 / 斜辺
cos θ = 隣辺 / 斜辺
tan θ = 対辺 / 隣辺

ピタゴラスの定理より sin²θ + cos²θ = 1 —— これは三角関数の根本恒等式だ。

単位円 — 角度を「位置」で見る

直角三角形だけでは 90° を超えた角度を扱えない。そこで登場するのが単位円——半径 1 の円だ。

原点中心の単位円上の点 P を考える。原点から P への角度を θ とすると、P の座標は (cos θ, sin θ) と定義できる。

P = (cos θ,  sin θ)

cos θ = P の x 座標 ← 水平成分
sin θ = P の y 座標 ← 垂直成分

これにより sin・cos の定義域が全実数に広がる。点が一周すると元に戻る——これが周期性の起源だ。

周期関数 — 世界は波でできている

三角関数は波だ。音・光・電磁波・地震波——自然界の波動現象のほぼすべてが sin や cos で記述できる。

y = A · sin(ωx + φ)

A : 振幅（波の高さ）
ω : 角周波数 → 周期 T = 2π/ω
φ : 位相（波のずれ）

波を重ね合わせると複雑な波形が生まれる。この発見がやがてフーリエ級数へと発展する。

加法定理 — 角度の足し算の美しさ

「sin(α + β) はいくつか？」答えは sin α + sin β ではない。

sin(α + β) = sinα cosβ + cosα sinβ
cos(α + β) = cosα cosβ − sinα sinβ

右の棒グラフを見てほしい。sin(α+β) の高さは、sinα·cosβ と cosα·sinβ という二つの成分が足し合わさってできている。

これを α = β とすれば倍角公式が生まれる。加法定理は三角関数のあらゆる公式の源泉だ。

フーリエ級数 — あらゆる波形を三角関数で

1807年、フーリエは衝撃的な主張をした——「どんな周期関数も sin と cos の無限和で表せる」。

矩形波のフーリエ展開:
f(x) = (4/π)[ sin(x)
             + sin(3x)/3
             + sin(5x)/5 + … ]

回転する円（エピサイクル）を重ねると波形が生まれる。シアンの波が近似、ゴールドの線が理想の矩形波だ。

オイラーの公式 — 数学史上最大の等式

オイラーは複素指数関数と三角関数の間に驚くべき橋をかけた。

eiθ = cos θ + i · sin θ

複素平面上で e^iθ は単位円上の点を表す。θ = π を代入すると：

eiπ + 1 = 0

e（自然対数の底）
i（虚数単位）  π（円周率）
1（乗法単位元）0（加法単位元）

五つの最重要定数が一本の式に収まる。点は反時計回りに回転し、θ=π で実軸の −1 に到達する。

直交変換と回転行列

平面上の点 (x, y) を原点の周りに角度 θ だけ回転した点 (x', y') は行列で表せる。

⎡x'⎤   ⎡cosθ  −sinθ⎤ ⎡x⎤
⎣y'⎦ = ⎣sinθ   cosθ⎦ ⎣y⎦

正の θ は反時計回りの回転を意味する。図形（F 字）が θ の増加とともに反時計回りに回転することを確認しよう。

RᵀR = I   （逆行列 = 転置行列）
det(R) = cos²θ + sin²θ = 1

リサジュー図形 — 二つの波が描く芸術

x・y 方向にそれぞれ異なる周波数の sin 波を与えた時に描かれる軌跡をリサジュー図形という（1857年）。

x(t) = sin(a·t + δ)  ← 上の波形
y(t) = sin(b·t)      ← 左の波形

a:b が有理数比 → 閉じた曲線
a:b が無理数比 → 無限に密になる

上端と左端の小さなグラフは、それぞれ x(t) と y(t) の波形をリアルタイムで示している。二つの波の「交点」が本体の軌跡を描く。