耳で感じる
数学

音は正弦波 — 空気の揺れの正体

音は空気の圧力変動。時間軸に描くと正弦波が現れる。

y(t) = A · sin(2πft)

A : 振幅　f : 周波数 Hz　t : 時間

▶ で 440 Hz（ラ）の正弦波を聴いてみよう。

周波数——数字が音程になる

周波数が2倍で1オクターブ。12音階は等比数列——音楽は数学の上に立っている。

ド   261.6 Hz
ラ   440.0 Hz  ← 国際標準 A4
ド'  523.3 Hz  ← 2倍 = 1オクターブ上

鍵盤を押して聴き比べよう。

倍音——音色の秘密

同じ音程でも音色が違うのは、倍音の配合が違うから。

y = A1·sin(2π·220t)  ← 基音（220 Hz）
  + A2·sin(2π·440t)  ← 2倍音
  + A3·sin(2π·660t)  ← 3倍音

スライダーで倍音の強さを変えてみよう。

和音——周波数比の美しさ

周波数比が単純な整数比ほど協和して心地よい。

完全八度  2:1  — 220 + 440 Hz
完全五度  3:2  — 220 + 330 Hz
長 三 度  5:4  — 220 + 275 Hz
短 二 度 16:15 — 220 + 234 Hz（不協和）

4つの音程を聴き比べよう。

うなり——波が強め合い、打ち消し合う

2つの波の周波数がわずかに違うと、強め合いと打ち消しが繰り返される——それがうなりだ。

sin(2πf1·t) + sin(2πf2·t)
= 2·cos(π·(f1-f2)·t)   ← ゆっくりした振幅変化
  × sin(π·(f1+f2)·t)   ← 速い振動

うなり周波数 = f1 - f2

差を増やすほどゆらぎが速くなる。

フーリエ変換 — 音の数学の全貌

どんな複雑な波形も正弦波の和で表せる——これがフーリエの発見だ。

x(t) = A0 + sum[ An·cos(2πnft)
              + Bn·sin(2πnft) ]

      ↑ フーリエ級数展開